Matemática discreta Ejemplos

$3 - \sqrt{3} + 1 > (3 \sqrt{3} + 2) x$

Paso 1

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$(3 \sqrt{3} + 2) x < 3 - \sqrt{3} + 1$

Paso 2

Suma $3$ y $1$ .

$(3 \sqrt{3} + 2) x < 4 - \sqrt{3}$

Paso 3

Divide cada término en $(3 \sqrt{3} + 2) x < 4 - \sqrt{3}$ por $3 \sqrt{3} + 2$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $(3 \sqrt{3} + 2) x < 4 - \sqrt{3}$ por $3 \sqrt{3} + 2$ .

$\frac{(3 \sqrt{3} + 2) x}{3 \sqrt{3} + 2} < \frac{4}{3 \sqrt{3} + 2} + \frac{- \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $3 \sqrt{3} + 2$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 \sqrt{3} + 2) x}{3 \sqrt{3} + 2} < \frac{4}{3 \sqrt{3} + 2} + \frac{- \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$

Paso 3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{4}{3 \sqrt{3} + 2} + \frac{- \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x < \frac{4 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$

Paso 3.3.2

Multiplica $\frac{4 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$ por $\frac{3 \sqrt{3} - 2}{3 \sqrt{3} - 2}$ .

$x < \frac{4 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2} \cdot \frac{3 \sqrt{3} - 2}{3 \sqrt{3} - 2}$

Paso 3.3.3

Combina fracciones.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $\frac{4 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$ por $\frac{3 \sqrt{3} - 2}{3 \sqrt{3} - 2}$ .

$x < \frac{(4 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - 2)}{(3 \sqrt{3} + 2) (3 \sqrt{3} - 2)}$

Paso 3.3.3.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$x < \frac{(4 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - 2)}{9 {\sqrt{3}}^{2} - 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - 4}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica.

$x < \frac{(4 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - 2)}{23}$

Paso 3.3.4

Expande $(4 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x < \frac{4 (3 \sqrt{3} - 2) - \sqrt{3} (3 \sqrt{3} - 2)}{23}$

Paso 3.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x < \frac{4 (3 \sqrt{3}) + 4 \cdot - 2 - \sqrt{3} (3 \sqrt{3} - 2)}{23}$

Paso 3.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x < \frac{4 (3 \sqrt{3}) + 4 \cdot - 2 - \sqrt{3} (3 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.5.1.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} + 4 \cdot - 2 - \sqrt{3} (3 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - \sqrt{3} (3 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.3

Multiplica $- \sqrt{3} (3 \sqrt{3})$ .

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Paso 3.3.5.1.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 {\sqrt{3}}^{2} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.3.5.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.5.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3^{1} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.4.5

Evalúa el exponente.

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3 - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.5

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 9 - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Paso 3.3.5.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 9 + 2 \sqrt{3}}{23}$

Paso 3.3.5.2

Suma $12 \sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$x < \frac{- 8 - 9 + 14 \sqrt{3}}{23}$

Paso 3.3.5.3

Resta $9$ de $- 8$ .

$x < \frac{- 17 + 14 \sqrt{3}}{23}$

Paso 3.3.6

Reescribe $- 17$ como $- 1 (17)$ .

$x < \frac{- 1 (17) + 14 \sqrt{3}}{23}$

Paso 3.3.7

Factoriza $- 1$ de $14 \sqrt{3}$ .

$x < \frac{- 1 (17) - (- 14 \sqrt{3})}{23}$

Paso 3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- 1 (17) - (- 14 \sqrt{3})$ .

$x < \frac{- 1 (17 - 14 \sqrt{3})}{23}$

Paso 3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x < - \frac{17 - 14 \sqrt{3}}{23}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - \frac{17 - 14 \sqrt{3}}{23}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{17 - 14 \sqrt{3}}{23})$