Matemática discreta Ejemplos

$35 = \frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Paso 2

Factoriza cada término.

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Paso 2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Paso 2.1.1.2

Reescribe $- 5$ como $- 1$ más $- 4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Paso 2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Paso 2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Paso 2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 4^{2}} = 35$

Paso 2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 2.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}} = 35$

Paso 2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$

Paso 3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

${(x + 4)}^{2}, 1$

Paso 3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

${(x + 4)}^{2}$

Paso 4

Multiplica cada término en $\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$ por ${(x + 4)}^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica cada término en $\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$ por ${(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} {(x + 4)}^{2} = 35 {(x + 4)}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de ${(x + 4)}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} {(x + 4)}^{2} = 35 {(x + 4)}^{2}$

Paso 4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$(2 x - 1) (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

Paso 4.2.2

Expande $(2 x - 1) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (x - 2) - 1 (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

Paso 4.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

Paso 4.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$2 x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Paso 4.2.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Paso 4.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x - x + 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Paso 4.2.3.2

Resta $x$ de $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Paso 5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.1

Simplifica $35 {(x + 4)}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 + 0 + 35 {(x + 4)}^{2}$

Paso 5.1.2

Reescribe ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 ((x + 4) (x + 4))$

Paso 5.1.3

Expande $(x + 4) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x (x + 4) + 4 (x + 4))$

Paso 5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))$

Paso 5.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

Paso 5.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

Paso 5.1.4.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)$

Paso 5.1.4.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)$

Paso 5.1.4.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 8 x + 16)$

Paso 5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 35 (8 x) + 35 \cdot 16$

Paso 5.1.6

Simplifica.

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $8$ por $35$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 280 x + 35 \cdot 16$

Paso 5.1.6.2

Multiplica $35$ por $16$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 280 x + 560$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $35 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 5 x + 2 - 35 x^{2} = 280 x + 560$

Paso 5.2.2

Resta $280 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 5 x + 2 - 35 x^{2} - 280 x = 560$

Paso 5.2.3

Resta $35 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 33 x^{2} - 5 x + 2 - 280 x = 560$

Paso 5.2.4

Resta $280 x$ de $- 5 x$ .

$- 33 x^{2} - 285 x + 2 = 560$

Paso 5.3

Resta $560$ de ambos lados de la ecuación.

$- 33 x^{2} - 285 x + 2 - 560 = 0$

Paso 5.4

Resta $560$ de $2$ .

$- 33 x^{2} - 285 x - 558 = 0$

Paso 5.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.5.1

Factoriza $- 3$ de $- 33 x^{2} - 285 x - 558$ .

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Paso 5.5.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 33 x^{2}$ .

$- 3 (11 x^{2}) - 285 x - 558 = 0$

Paso 5.5.1.2

Factoriza $- 3$ de $- 285 x$ .

$- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x) - 558 = 0$

Paso 5.5.1.3

Factoriza $- 3$ de $- 558$ .

$- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x) - 3 \cdot 186 = 0$

Paso 5.5.1.4

Factoriza $- 3$ de $- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x)$ .

$- 3 (11 x^{2} + 95 x) - 3 \cdot 186 = 0$

Paso 5.5.1.5

Factoriza $- 3$ de $- 3 (11 x^{2} + 95 x) - 3 (186)$ .

$- 3 (11 x^{2} + 95 x + 186) = 0$

Paso 5.5.2

Factoriza.

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Paso 5.5.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.5.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 11 \cdot 186 = 2046$ y cuya suma es $b = 95$ .

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Paso 5.5.2.1.1.1

Factoriza $95$ de $95 x$ .

$- 3 (11 x^{2} + 95 (x) + 186) = 0$

Paso 5.5.2.1.1.2

Reescribe $95$ como $33$ más $62$

$- 3 (11 x^{2} + (33 + 62) x + 186) = 0$

Paso 5.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 (11 x^{2} + 33 x + 62 x + 186) = 0$

Paso 5.5.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.5.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 3 ((11 x^{2} + 33 x) + 62 x + 186) = 0$

Paso 5.5.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- 3 (11 x (x + 3) + 62 (x + 3)) = 0$

Paso 5.5.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 3$ .

$- 3 ((x + 3) (11 x + 62)) = 0$

Paso 5.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 (x + 3) (11 x + 62) = 0$

Paso 5.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$11 x + 62 = 0$

Paso 5.7

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.7.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.7.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 5.8

Establece $11 x + 62$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.8.1

Establece $11 x + 62$ igual a $0$ .

$11 x + 62 = 0$

Paso 5.8.2

Resuelve $11 x + 62 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.8.2.1

Resta $62$ de ambos lados de la ecuación.

$11 x = - 62$

Paso 5.8.2.2

Divide cada término en $11 x = - 62$ por $11$ y simplifica.

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Paso 5.8.2.2.1

Divide cada término en $11 x = - 62$ por $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 62}{11}$

Paso 5.8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 5.8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 62}{11}$

Paso 5.8.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 62}{11}$

Paso 5.8.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.8.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{62}{11}$

Paso 5.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 3 (x + 3) (11 x + 62) = 0$ verdadera.

$x = - 3, - \frac{62}{11}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 3, - \frac{62}{11}$

Forma decimal:

$x = - 3, - 5.\overline{63}$

Forma de número mixto:

$x = - 3, - 5 \frac{7}{11}$