Matemática discreta Ejemplos

${(\frac{3}{4})}^{x} = \frac{64}{27}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{3}{4})}^{x}) = \ln (\frac{64}{27})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{3}{4})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (\frac{3}{4}) = \ln (\frac{64}{27})$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (\frac{3}{4})$ como $\ln (3) - \ln (4)$ .

$x (\ln (3) - \ln (4)) = \ln (\frac{64}{27})$

Paso 2.3

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$x (\ln (3) - \ln (2^{2})) = \ln (\frac{64}{27})$

Paso 2.4

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$x (\ln (3) - (2 \ln (2))) = \ln (\frac{64}{27})$

Paso 2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $x (\ln (3) - 2 \ln (2))$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (3) + x (- 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$

Paso 3.1.2

Reordena los factores en $x \ln (3) + x (- 2 \ln (2))$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = \ln (\frac{64}{27})$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - \ln (\frac{64}{27}) = 0$

Paso 5

Suma $\ln (\frac{64}{27})$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = \ln (\frac{64}{27})$

Paso 6

Factoriza $x$ de $x \ln (3) - 2 x \ln (2)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (2) = \ln (\frac{64}{27})$

Paso 6.2

Factoriza $x$ de $- 2 x \ln (2)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$

Paso 6.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2))$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$

Paso 7

Divide cada término en $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$ por $\ln (3) - 2 \ln (2)$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$ por $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{\ln (\frac{64}{27})}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{\ln (\frac{64}{27})}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{64}{27})}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (\frac{64}{27})}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Forma decimal:

$x = - 3$