Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x - 3}{x - 6} > 3$

Paso 1

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x - 3}{x - 6} - 3 > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x - 3}{x - 6} - 3$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{x - 3}{x - 6} - 3 \cdot \frac{x - 6}{x - 6} > 0$

Paso 2.2

Combina $- 3$ y $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{x - 3}{x - 6} + \frac{- 3 (x - 6)}{x - 6} > 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 3 - 3 (x - 6)}{x - 6} > 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 3 - 3 x - 3 \cdot - 6}{x - 6} > 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 3$ por $- 6$ .

$\frac{x - 3 - 3 x + 18}{x - 6} > 0$

Paso 2.4.3

Resta $3 x$ de $x$ .

$\frac{- 2 x - 3 + 18}{x - 6} > 0$

Paso 2.4.4

Suma $- 3$ y $18$ .

$\frac{- 2 x + 15}{x - 6} > 0$

Paso 2.5

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) + 15}{x - 6} > 0$

Paso 2.6

Reescribe $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (- 15)}{x - 6} > 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 15)$ .

$\frac{- (2 x - 15)}{x - 6} > 0$

Paso 2.8

Reescribe $- (2 x - 15)$ como $- 1 (2 x - 15)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 15)}{x - 6} > 0$

Paso 2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x - 15}{x - 6} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$2 x - 15 = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 4

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 15$

Paso 5

Divide cada término en $2 x = 15$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $2 x = 15$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{15}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{15}{2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{15}{2}$

Paso 6

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{15}{2}$

$x = 6$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = \frac{15}{2}, 6$

Paso 9

Obtén el dominio de $- \frac{2 x - 15}{x - 6}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{2 x - 15}{x - 6}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 6 = 0$

Paso 9.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 6$

$6 < x < \frac{15}{2}$

$x > \frac{15}{2}$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) - 3}{(0) - 6} > 3$

Paso 11.1.3

$0.5$ del lado izquierdo no es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $6 < x < \frac{15}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $6 < x < \frac{15}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 7$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $7$ en la desigualdad original.

$\frac{(7) - 3}{(7) - 6} > 3$

Paso 11.2.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{15}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{15}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\frac{(10) - 3}{(10) - 6} > 3$

Paso 11.3.3

$1.75$ del lado izquierdo no es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 6$ Falso

$6 < x < \frac{15}{2}$ Verdadero

$x > \frac{15}{2}$ Falso

$x < 6$ Falso

$6 < x < \frac{15}{2}$ Verdadero

$x > \frac{15}{2}$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$6 < x < \frac{15}{2}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$6 < x < \frac{15}{2}$

Notación de intervalo:

$(6, \frac{15}{2})$

Paso 14