Matemática discreta Ejemplos

$1 + \frac{2}{x} < 3$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 1.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{2}{x} < 3 - 1$

Paso 1.2

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{2}{x} < 2$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{2}{x} x = 2 x$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x} x = 2 x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$2 = 2 x$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $2 x = 2$ .

$2 x = 2$

Paso 4.2

Divide cada término en $2 x = 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $2 x = 2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Divide $2$ por $2$ .

$x = 1$

Paso 5

Obtén el dominio de $\frac{2}{x} - 2$ .

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{2}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 5.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{2}{- 2} < 3$

Paso 7.1.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{2}{0.5} < 3$

Paso 7.2.3

$5$ del lado izquierdo no es menor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$1 + \frac{2}{4} < 3$

Paso 7.3.3

$1.5$ del lado izquierdo es menor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$ o $x > 1$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < 0 or x > 1$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

Paso 10