Matemática discreta Ejemplos

$2 x^{6} - 5 x^{3} - 12 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

$2 {(x^{3})}^{2} - 5 x^{3} - 12 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{3}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{3}$ .

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

Paso 1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 u$ .

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $- 5$ como $3$ más $- 8$

$2 u^{2} + (3 - 8) u - 12 = 0$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} + 3 u - 8 u - 12 = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 u^{2} + 3 u) - 8 u - 12 = 0$

Paso 1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u + 3) - 4 (2 u + 3) = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 3$ .

$(2 u + 3) (u - 4) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x^{3} + 3 = 0$

$x^{3} - 4 = 0$

Paso 3

Establece $2 x^{3} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $2 x^{3} + 3$ igual a $0$ .

$2 x^{3} + 3 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $2 x^{3} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} = - 3$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $2 x^{3} = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $2 x^{3} = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{3} = - \frac{3}{2}$

Paso 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.2.4

Simplifica $\sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.2.4.1

Reescribe $- \frac{3}{2}$ como ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}$ .

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Paso 3.2.4.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3}{2}}$

Paso 3.2.4.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}}$

Paso 3.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.4.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$x = - \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.4.4

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 3.2.4.5

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = - (\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Paso 3.2.4.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.2.4.6.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.2.4.6.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.2.4.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Paso 3.2.4.6.4

Suma $1$ y $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Paso 3.2.4.6.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 3.2.4.6.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.2.4.6.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.2.4.6.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.2.4.6.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.4.6.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.2.4.6.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Paso 3.2.4.6.5.5

Evalúa el exponente.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Paso 3.2.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.4.7.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Paso 3.2.4.7.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2}$

Paso 3.2.4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.4.8.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2}$

Paso 3.2.4.8.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}$

Paso 4

Establece $x^{3} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{3} - 4$ igual a $0$ .

$x^{3} - 4 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{3} - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 4$

Paso 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{4}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

Forma decimal:

$x = - 1.14471424 \dots, 1.58740105 \dots$