Matemática discreta Ejemplos

$5 - \frac{3}{a} < \frac{7}{a}$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $a$ .

$(5 - \frac{3}{a}) a = \frac{7}{a} a$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Simplifica $(5 - \frac{3}{a}) a$ .

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Paso 2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 a - \frac{3}{a} a = \frac{7}{a} a$

Paso 2.1.1.2

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{a}$ al numerador.

$5 a + \frac{- 3}{a} a = \frac{7}{a} a$

Paso 2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$5 a + \frac{- 3}{a} a = \frac{7}{a} a$

Paso 2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$5 a - 3 = \frac{7}{a} a$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$5 a - 3 = \frac{7}{a} a$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$5 a - 3 = 7$

Paso 3

Resuelve $a$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $a$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$5 a = 7 + 3$

Paso 3.1.2

Suma $7$ y $3$ .

$5 a = 10$

Paso 3.2

Divide cada término en $5 a = 10$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $5 a = 10$ por $5$ .

$\frac{5 a}{5} = \frac{10}{5}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 a}{5} = \frac{10}{5}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{10}{5}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $10$ por $5$ .

$a = 2$

Paso 4

Obtén el dominio de $5 - \frac{10}{a}$ .

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{10}{a}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$a = 0$

Paso 4.2

El dominio son todos los valores de $a$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$a < 0$

$0 < a < 2$

$a > 2$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $a < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $a < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$a = - 2$

Paso 6.1.2

Reemplaza $a$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$5 - \frac{3}{- 2} < \frac{7}{- 2}$

Paso 6.1.3

$6.5$ del lado izquierdo no es menor que $- 3.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < a < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < a < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$a = 1$

Paso 6.2.2

Reemplaza $a$ con $1$ en la desigualdad original.

$5 - \frac{3}{1} < \frac{7}{1}$

Paso 6.2.3

$2$ del lado izquierdo es menor que $7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $a > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $a > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$a = 4$

Paso 6.3.2

Reemplaza $a$ con $4$ en la desigualdad original.

$5 - \frac{3}{4} < \frac{7}{4}$

Paso 6.3.3

$4.25$ del lado izquierdo no es menor que $1.75$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$a < 0$ Falso

$0 < a < 2$ Verdadero

$a > 2$ Falso

$a < 0$ Falso

$0 < a < 2$ Verdadero

$a > 2$ Falso

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < a < 2$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < a < 2$

Notación de intervalo:

$(0, 2)$

Paso 9