Matemática discreta Ejemplos

$\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x - b, x - a, 1$

Paso 1.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 1.5

El factor para $x - b$ es $x - b$ en sí mismo.

$(x - b) = x - b$

$(x - b)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.6

El factor para $x - a$ es $x - a$ en sí mismo.

$(x - a) = x - a$

$(x - a)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.7

El MCM de $x - b, x - a$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(x - b) (x - a)$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ por $(x - b) (x - a)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ por $(x - b) (x - a)$ .

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $x - b$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$a (x - a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a x + a (- a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a x - a \cdot a + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.2.1.4

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.4.1

Mueve $a$ .

$a x - (a \cdot a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.2.1.4.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.2.1.5

Cancela el factor común de $x - a$ .

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Paso 2.2.1.5.1

Factoriza $x - a$ de $(x - b) (x - a)$ .

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$a x - a^{2} + b (x - b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$a x - a^{2} + b x + b (- b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.2.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a x - a^{2} + b x - b \cdot b = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.2.1.8

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.8.1

Mueve $b$ .

$a x - a^{2} + b x - (b \cdot b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.2.1.8.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 ((x - b) (x - a))$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Expande $(x - b) (x - a)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x (x - a) - b (x - a))$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b (x - a))$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b x - b (- a))$

Paso 2.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} + x (- a) - b x - b (- a))$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - b (- a))$

Paso 2.3.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - 1 \cdot - 1 b a)$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + 1 b a)$

Paso 2.3.2.1.5

Multiplica $b$ por $1$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + b a)$

Paso 2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} + 2 (- x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) - 2 (b x) + 2 b a$

Paso 2.3.4

Elimina los paréntesis.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 x a - 2 b x + 2 b a$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $a$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $2 x a$ a ambos lados de la ecuación.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a = 2 x^{2} - 2 b x + 2 b a$

Paso 3.1.2

Resta $2 b a$ de ambos lados de la ecuación.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Paso 3.1.3

Suma $a x$ y $2 x a$ .

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Paso 3.1.3.1

Mueve $x$ .

$- a^{2} + b x - b^{2} + a x + 2 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Paso 3.1.3.2

Suma $a x$ y $2 a x$ .

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Paso 3.2

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.2.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} = - 2 b x$

Paso 3.2.1.2

Suma $2 b x$ a ambos lados de la ecuación.

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 2 b x = 0$

Paso 3.2.2

Suma $b x$ y $2 b x$ .

$- a^{2} - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 3 b x = 0$

Paso 3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 3 x - 2 b$ y $c = - b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $a$ .

$\frac{- (3 x - 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{- (3 x) - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.4

Reescribe ${(3 x - 2 b)}^{2}$ como $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{(3 x - 2 b) (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.5

Expande $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.5.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x - 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.6.1.2.1

Mueve $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 \cdot (- 2 x b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6.1.5

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 \cdot (3 b x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6.1.7

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b \cdot b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6.1.9

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.6.1.9.1

Mueve $b$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 (b \cdot b)) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6.1.9.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b^{2}) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6.1.10

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6.2

Resta $6 b x$ de $- 6 x b$ .

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Paso 3.5.1.6.2.1

Mueve $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 b x - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.6.2.2

Resta $6 b x$ de $- 6 b x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.7

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 (- b^{2}) + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.9

Simplifica.

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Paso 3.5.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.9.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.9.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 12 (b x)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.10

Resta $8 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{- 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 12 b x}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.11

Suma $- 12 b x$ y $12 b x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 0}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.12

Suma $4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}$ y $0$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.13

Resta $4 b^{2}$ de $4 b^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{0 + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.14

Suma $0$ y $x^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.15

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$

Paso 3.5.3

Simplifica $\frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$ .

$a = \frac{3 x - 2 b \pm x}{2}$

Paso 3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$