Matemática discreta Ejemplos

${(4 a^{b})}^{c} = 1024 a^{6 b}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(4 a^{b})}^{c}) = \ln (1024 a^{6 b})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(4 a^{b})}^{c})$ ; para ello, mueve $c$ fuera del logaritmo.

$c \ln (4 a^{b}) = \ln (1024 a^{6 b})$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (4 a^{b})$ como $\ln (4) + \ln (a^{b})$ .

$c (\ln (4) + \ln (a^{b})) = \ln (1024 a^{6 b})$

Paso 2.3

Expande $\ln (a^{b})$ ; para ello, mueve $b$ fuera del logaritmo.

$c (\ln (4) + b \ln (a)) = \ln (1024 a^{6 b})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (1024 a^{6 b})$ como $\ln (1024) + \ln (a^{6 b})$ .

$c (\ln (4) + b \ln (a)) = \ln (1024) + \ln (a^{6 b})$

Paso 3.2

Expande $\ln (a^{6 b})$ ; para ello, mueve $6 b$ fuera del logaritmo.

$c (\ln (4) + b \ln (a)) = \ln (1024) + 6 b \ln (a)$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$c \ln (4) + c b \ln (a) = \ln (1024) + 6 b \ln (a)$

Paso 5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1

Reordena $c$ y $b$ .

$c \ln (4) + b c \ln (a) = \ln (1024) + 6 b \ln (a)$

Paso 5.2

Reordena $c \ln (4)$ y $b c \ln (a)$ .

$b c \ln (a) + c \ln (4) = \ln (1024) + 6 b \ln (a)$

Paso 6

Reordena $\ln (1024)$ y $6 b \ln (a)$ .

$b c \ln (a) + c \ln (4) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$

Paso 7

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$b c \ln (a) + c \ln (4) - 6 b \ln (a) - \ln (1024) = 0$

Paso 8

Mueve todos los términos que no contengan $c$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1

Suma $6 b \ln (a)$ a ambos lados de la ecuación.

$b c \ln (a) + c \ln (4) - \ln (1024) = 6 b \ln (a)$

Paso 8.2

Suma $\ln (1024)$ a ambos lados de la ecuación.

$b c \ln (a) + c \ln (4) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$

Paso 9

Factoriza $c$ de $b c \ln (a) + c \ln (4)$ .

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Paso 9.1

Factoriza $c$ de $b c \ln (a)$ .

$c (b \ln (a)) + c \ln (4) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$

Paso 9.2

Factoriza $c$ de $c \ln (4)$ .

$c (b \ln (a)) + c (\ln (4)) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$

Paso 9.3

Factoriza $c$ de $c (b \ln (a)) + c (\ln (4))$ .

$c (b \ln (a) + \ln (4)) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$

Paso 10

Divide cada término en $c (b \ln (a) + \ln (4)) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$ por $b \ln (a) + \ln (4)$ y simplifica.

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Paso 10.1

Divide cada término en $c (b \ln (a) + \ln (4)) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$ por $b \ln (a) + \ln (4)$ .

$\frac{c (b \ln (a) + \ln (4))}{b \ln (a) + \ln (4)} = \frac{6 b \ln (a)}{b \ln (a) + \ln (4)} + \frac{\ln (1024)}{b \ln (a) + \ln (4)}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $b \ln (a) + \ln (4)$ .

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Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{c (b \ln (a) + \ln (4))}{b \ln (a) + \ln (4)} = \frac{6 b \ln (a)}{b \ln (a) + \ln (4)} + \frac{\ln (1024)}{b \ln (a) + \ln (4)}$

Paso 10.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{6 b \ln (a)}{b \ln (a) + \ln (4)} + \frac{\ln (1024)}{b \ln (a) + \ln (4)}$

Paso 10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$c = \frac{6 b \ln (a) + \ln (1024)}{b \ln (a) + \ln (4)}$