Matemática discreta Ejemplos

$\cos (\frac{2 π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{2 π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \cos (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{2 π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{2 π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{2 π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.4

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{2 π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{2 π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{2 (π)}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + 1 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.7

Multiplica $\sin (\frac{π}{4})$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.8

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2

Para escribir $\frac{\sqrt{2}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{4}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2}{4}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2}}{4}$

Paso 5.2

Suma $- \sqrt{2}$ y $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Forma decimal:

$0.35355339 \dots$