Matemática discreta Ejemplos

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Paso 1

Resta $100$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100 > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100$ .

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Paso 2.1

Obtén el denominador común

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Paso 2.1.1

Escribe $98.6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} - 100 > 0$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{98.6}{1}$ por $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

Paso 2.1.3

Multiplica $\frac{98.6}{1}$ por $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

Paso 2.1.4

Escribe $- 100$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} > 0$

Paso 2.1.5

Multiplica $\frac{- 100}{1}$ por $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.1.6

Multiplica $\frac{- 100}{1}$ por $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 t + 98.6 (t^{2} + 1) - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 \cdot 1 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $98.6$ por $1$ .

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100 \cdot 1}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 100$ por $1$ .

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.4

Resta $100 t^{2}$ de $98.6 t^{2}$ .

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} + 98.6 - 100}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.5

Resta $100$ de $98.6$ .

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Factoriza $0.2$ de $5 t - 1.4 t^{2} - 1.4$ .

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Paso 2.6.1.1

Factoriza $0.2$ de $5 t$ .

$\frac{0.2 (25 t) - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.6.1.2

Factoriza $0.2$ de $- 1.4 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.6.1.3

Factoriza $0.2$ de $- 1.4$ .

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.6.1.4

Factoriza $0.2$ de $0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2})$ .

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.6.1.5

Factoriza $0.2$ de $0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)$ .

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2} - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$\frac{0.2 (- 7 t^{2} + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- 7 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $25 t$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) - (- 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.9

Factoriza $- 1$ de $- (7 t^{2}) - (- 25 t)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.10

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7))}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.11

Factoriza $- 1$ de $- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.12

Reescribe $- (7 t^{2} - 25 t + 7)$ como $- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7)$ .

$\frac{0.2 (- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{0.2 (7 t^{2} - 25 t + 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$7 t^{2} - 25 t + 7 = 0$

$t^{2} + 1 = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5

Sustituye los valores $a = 7$ , $b = - 25$ y $c = 7$ en la fórmula cuadrática y resuelve $t$ .

$\frac{25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 7)}}{2 \cdot 7}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 25$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 7 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 7 \cdot 7$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 28 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 28$ por $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 196}}{2 \cdot 7}$

Paso 6.1.3

Resta $196$ de $625$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 7}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{14}$

Paso 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

Paso 8

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$t^{2} = - 1$

Paso 9

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 10

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \pm i$

Paso 11

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = i$

Paso 11.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - i$

Paso 11.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = i, - i$

Paso 12

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$t = i, - i$

Paso 13

Consolida las soluciones.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

Paso 14

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Paso 15

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 15.1

Prueba un valor en el intervalo $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.1.1

Elije un valor en el intervalo $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$t = 0$

Paso 15.1.2

Reemplaza $t$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Paso 15.1.3

$98.6$ del lado izquierdo no es mayor que $100$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 15.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$t = 2$

Paso 15.2.2

Reemplaza $t$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (2)}{{(2)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Paso 15.2.3

$100.6$ del lado izquierdo es mayor que $100$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 15.3

Prueba un valor en el intervalo $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.3.1

Elije un valor en el intervalo $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$t = 6$

Paso 15.3.2

Reemplaza $t$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (6)}{{(6)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Paso 15.3.3

$99.4\overline{108}$ del lado izquierdo no es mayor que $100$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 15.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ Falso

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Verdadero

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Falso

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ Falso

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Verdadero

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Falso

Paso 16

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Notación de intervalo:

$(\frac{25 - \sqrt{429}}{14}, \frac{25 + \sqrt{429}}{14})$

Paso 18