Matemática discreta Ejemplos

$4^{4 p} \cdot 4^{2 p - 1} = 100$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4^{4 p} \cdot 4^{2 p - 1}) = \ln (100)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (4^{4 p} \cdot 4^{2 p - 1})$ como $\ln (4^{4 p}) + \ln (4^{2 p - 1})$ .

$\ln (4^{4 p}) + \ln (4^{2 p - 1}) = \ln (100)$

Paso 2.2

Expande $\ln (4^{4 p})$ ; para ello, mueve $4 p$ fuera del logaritmo.

$4 p \ln (4) + \ln (4^{2 p - 1}) = \ln (100)$

Paso 2.3

Expande $\ln (4^{2 p - 1})$ ; para ello, mueve $2 p - 1$ fuera del logaritmo.

$4 p \ln (4) + (2 p - 1) \ln (4) = \ln (100)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $4 p \ln (4) + (2 p - 1) \ln (4)$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 p \ln (4) + 2 p \ln (4) - 1 \ln (4) = \ln (100)$

Paso 3.1.1.2

Reescribe $- 1 \ln (4)$ como $- \ln (4)$ .

$4 p \ln (4) + 2 p \ln (4) - \ln (4) = \ln (100)$

Paso 3.1.2

Suma $4 p \ln (4)$ y $2 p \ln (4)$ .

$6 p \ln (4) - \ln (4) = \ln (100)$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$6 p \ln (4) - \ln (4) - \ln (100) = 0$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $p$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Suma $\ln (4)$ a ambos lados de la ecuación.

$6 p \ln (4) - \ln (100) = \ln (4)$

Paso 5.2

Suma $\ln (100)$ a ambos lados de la ecuación.

$6 p \ln (4) = \ln (4) + \ln (100)$

Paso 6

Divide cada término en $6 p \ln (4) = \ln (4) + \ln (100)$ por $6 \ln (4)$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $6 p \ln (4) = \ln (4) + \ln (100)$ por $6 \ln (4)$ .

$\frac{6 p \ln (4)}{6 \ln (4)} = \frac{\ln (4)}{6 \ln (4)} + \frac{\ln (100)}{6 \ln (4)}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 p \ln (4)}{6 \ln (4)} = \frac{\ln (4)}{6 \ln (4)} + \frac{\ln (100)}{6 \ln (4)}$

Paso 6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{p \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (4)}{6 \ln (4)} + \frac{\ln (100)}{6 \ln (4)}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{p \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (4)}{6 \ln (4)} + \frac{\ln (100)}{6 \ln (4)}$

Paso 6.2.2.2

Divide $p$ por $1$ .

$p = \frac{\ln (4)}{6 \ln (4)} + \frac{\ln (100)}{6 \ln (4)}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común.

$p = \frac{\ln (4)}{6 \ln (4)} + \frac{\ln (100)}{6 \ln (4)}$

Paso 6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$p = \frac{1}{6} + \frac{\ln (100)}{6 \ln (4)}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$p = \frac{1}{6} + \frac{\ln (100)}{6 \ln (4)}$

Forma decimal:

$p = 0.72032134 \dots$