Matemática discreta Ejemplos

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 5}{x^{2} + 6} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{4} - x^{2} - 5 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Paso 2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - u - 5 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = - 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Suma $1$ y $20$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}, \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$

Paso 7

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 2.79128784$

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Paso 8

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 2.79128784$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2.79128784}$

Paso 9.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2.79128784}$

Paso 9.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2.79128784}$

Paso 9.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Paso 10

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Paso 11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = - 1.79128784$

Paso 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.79128784}$

Paso 11.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 1.79128784}$ .

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Paso 11.3.1

Reescribe $- 1.79128784$ como $- 1 (1.79128784)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.79128784)}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (1.79128784)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$

Paso 11.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.79128784}$

Paso 11.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{1.79128784}$

Paso 11.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{1.79128784}$

Paso 11.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Paso 12

La solución a $x^{4} - x^{2} - 5 = 0$ es $x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$ .

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Paso 13

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 6$

Paso 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Paso 15

Simplifica $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Paso 15.1

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Paso 15.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (6)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Paso 15.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Paso 16

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 16.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{6}$

Paso 16.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{6}$

Paso 16.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Paso 17

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Paso 18

Consolida las soluciones.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Paso 19

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \sqrt{2.79128784}$

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$

$x > \sqrt{2.79128784}$

Paso 20

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 20.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \sqrt{2.79128784}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 20.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \sqrt{2.79128784}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 20.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$- \frac{{(- 4)}^{4} - {(- 4)}^{2} - 5}{{(- 4)}^{2} + 6} < 0$

Paso 20.1.3

$- 10.6\overline{81}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 20.2

Prueba un valor en el intervalo $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 20.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 20.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- \frac{{(0)}^{4} - {(0)}^{2} - 5}{{(0)}^{2} + 6} < 0$

Paso 20.2.3

$0.8\overline{3}$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 20.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \sqrt{2.79128784}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 20.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \sqrt{2.79128784}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 20.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$- \frac{{(4)}^{4} - {(4)}^{2} - 5}{{(4)}^{2} + 6} < 0$

Paso 20.3.3

$- 10.6\overline{81}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 20.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Verdadero

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Falso

$x > \sqrt{2.79128784}$ Verdadero

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Verdadero

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Falso

$x > \sqrt{2.79128784}$ Verdadero

Paso 21

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ o $x > \sqrt{2.79128784}$

Paso 22

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - \sqrt{2.79128784} or x > \sqrt{2.79128784}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \sqrt{2.79128784}) \cup (\sqrt{2.79128784}, \infty)$

Paso 23