Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} > 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Paso 2.2

Combina $- 1$ y $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} + \frac{- (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (x) - (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Paso 2.4.3

Resta $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$\frac{0 - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Paso 2.4.4

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Paso 2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{\sin (x) + 1} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 5

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 7

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 8

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 8.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 8.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 9

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 9.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 9.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 10

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 10.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 10.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 10.3

Combina fracciones.

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Paso 10.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 10.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 10.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 10.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 10.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 11

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Obtén el dominio de $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

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Paso 13.1

Establece el denominador en $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $x$

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Paso 13.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 13.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 13.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 13.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 13.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 13.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 13.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 13.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 13.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 13.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 13.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 13.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 13.2.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 13.2.7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 13.2.7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 13.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 13.2.7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 13.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 13.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 13.2.7.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 13.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 13.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13.2.9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

${x | x \neq \frac{3 π}{2} + 2 π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Paso 15

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 15.1

Prueba un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.1.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 15.1.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{\sin (8)}{\sin (8) + 1} > 1$

Paso 15.1.3

$0.49732533$ del lado izquierdo no es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 15.2

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Falso

Paso 16

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución