Matemática discreta Ejemplos

$\log_{9} (7) + \log_{9} (3 x^{2} \cdot 9) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} (7 (3 x^{2} \cdot 9)) = 2$

Paso 1.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$\log_{9} (7 (27 x^{2})) = 2$

Paso 1.3

Multiplica $27$ por $7$ .

$\log_{9} (189 x^{2}) = 2$

Paso 2

Reescribe $\log_{9} (189 x^{2}) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$9^{2} = 189 x^{2}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $189 x^{2} = 9^{2}$ .

$189 x^{2} = 9^{2}$

Paso 3.2

Divide cada término en $189 x^{2} = 9^{2}$ por $189$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $189 x^{2} = 9^{2}$ por $189$ .

$\frac{189 x^{2}}{189} = \frac{9^{2}}{189}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $189$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{189 x^{2}}{189} = \frac{9^{2}}{189}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{9^{2}}{189}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} = \frac{81}{189}$

Paso 3.2.3.2

Cancela el factor común de $81$ y $189$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Factoriza $27$ de $81$ .

$x^{2} = \frac{27 (3)}{189}$

Paso 3.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.2.2.1

Factoriza $27$ de $189$ .

$x^{2} = \frac{27 \cdot 3}{27 \cdot 7}$

Paso 3.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{27 \cdot 3}{27 \cdot 7}$

Paso 3.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{3}{7}$

Paso 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{7}}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{7}}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{7}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Paso 3.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 3.4.3.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Paso 3.4.3.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Paso 3.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 3.4.3.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 3.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Paso 3.4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 7}}{7}$

Paso 3.4.4.2

Multiplica $3$ por $7$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{7}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}, - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}, - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Forma decimal:

$x = 0.65465367 \dots, - 0.65465367 \dots$