Matemática discreta Ejemplos

$\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x + 119) = 4$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 1) (x + 119)) = 4$

Paso 1.2

Expande $(x - 1) (x + 119)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (x (x + 119) - 1 (x + 119)) = 4$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 119 - 1 (x + 119)) = 4$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 119 - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 119 - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Paso 1.3.1.2

Mueve $119$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Paso 1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 x - x - 1 \cdot 119) = 4$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $119$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 x - x - 119) = 4$

Paso 1.3.2

Resta $x$ de $119 x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 118 x - 119) = 4$

Paso 2

Reescribe $\log_{5} (x^{2} + 118 x - 119) = 4$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{4} = x^{2} + 118 x - 119$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + 118 x - 119 = 5^{4}$ .

$x^{2} + 118 x - 119 = 5^{4}$

Paso 3.2

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$x^{2} + 118 x - 119 = 625$

Paso 3.3

Resta $625$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 118 x - 119 - 625 = 0$

Paso 3.4

Resta $625$ de $- 119$ .

$x^{2} + 118 x - 744 = 0$

Paso 3.5

Factoriza $x^{2} + 118 x - 744$ con el método AC.

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Paso 3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 744$ y cuya suma es $118$ .

$- 6, 124$

Paso 3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 6) (x + 124) = 0$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 124 = 0$

Paso 3.7

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 3.7.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 3.8

Establece $x + 124$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.8.1

Establece $x + 124$ igual a $0$ .

$x + 124 = 0$

Paso 3.8.2

Resta $124$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 124$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x + 124) = 0$ verdadera.

$x = 6, - 124$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x + 119) = 4$ sea verdadera.

$x = 6$