Matemática discreta Ejemplos

$\log (x^{2} - 1) - \log (x - 1) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = 1$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1}) = 1$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

Paso 1.3.2

Divide $x + 1$ por $1$ .

$\log (x + 1) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log (x + 1) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x + 1$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x + 1 = 10^{1}$ .

$x + 1 = 10$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 10 - 1$

Paso 3.2.2

Resta $1$ de $10$ .

$x = 9$