Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sec (x)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Paso 1.1.1

Para escribir $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sec (x)$

Paso 1.1.2

Para escribir $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} = \sec (x)$

Paso 1.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} = \sec (x)$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.3.3

Reordena los factores de $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.5.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 1.1.5.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.4

Multiplica $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Paso 1.1.5.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.4.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.4.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.4.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.5

Reescribe $\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)$ en forma factorizada.

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Paso 1.1.5.5.1

Reorganiza los términos.

$\frac{- \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.5.2

Reorganiza los términos.

$\frac{- \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.5.5.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- \sin (x) + 1}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $- \sin (x) + 1$ y $1 - \sin (x)$ .

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Paso 1.1.6.1

Reordena los términos.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Paso 1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sec (x)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 4

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$1 = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$1 = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$1 = 1$

Paso 6

Como $1 = 1$ , la ecuación siempre será verdadera para cualquier valor de $x$ .

Todos los números reales

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Todos los números reales

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$