Matemática discreta Ejemplos

$4 x^{2} + 4 x - 1 > 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$4 x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = 4$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.3

Suma $16$ y $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Paso 5

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$4 {(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 1 > 0$

Paso 7.1.3

$47$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$4 {(0)}^{2} + 4 (0) - 1 > 0$

Paso 7.2.3

$- 1$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$4 {(3)}^{2} + 4 (3) - 1 > 0$

Paso 7.3.3

$47$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ Verdadero

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Falso

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Verdadero

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ Verdadero

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Falso

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Verdadero

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ o $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2} or x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, \infty)$

Paso 10