Matemática discreta Ejemplos

$4^{x} + 7 \cdot 2^{x} = 44$

Paso 1

Resta $44$ de ambos lados de la ecuación.

$4^{x} + 7 \cdot 2^{x} - 44 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $4^{x}$ como ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} + 7 \cdot 2^{x} - 44 = 0$

Paso 2.2

Reescribe ${(2^{2})}^{x}$ como ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} + 7 \cdot 2^{x} - 44 = 0$

Paso 2.3

Sea $u = 2^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $2^{x}$ .

$u^{2} + 7 u - 44 = 0$

Paso 2.4

Factoriza $u^{2} + 7 u - 44$ con el método AC.

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Paso 2.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 44$ y cuya suma es $7$ .

$- 4, 11$

Paso 2.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u + 11) = 0$

Paso 2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2^{x}$ .

$(2^{x} - 4) (2^{x} + 11) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2^{x} - 4 = 0$

$2^{x} + 11 = 0$

Paso 4

Establece $2^{x} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $2^{x} - 4$ igual a $0$ .

$2^{x} - 4 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $2^{x} - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$2^{x} = 4$

Paso 4.2.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{2}$

Paso 4.2.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 2$

Paso 5

Establece $2^{x} + 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $2^{x} + 11$ igual a $0$ .

$2^{x} + 11 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2^{x} + 11 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$2^{x} = - 11$

Paso 5.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 11)$

Paso 5.2.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 11)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.2.4

No hay soluciones para $2^{x} = - 11$

No hay solución

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2^{x} - 4) (2^{x} + 11) = 0$ verdadera.

$x = 2$