Matemática discreta Ejemplos

$\frac{2 x + 3}{3 x - 7} > 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$2 x + 3 = 0$

$3 x - 7 = 0$

Paso 2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 3$

Paso 3

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 4

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 7$

Paso 5

Divide cada término en $3 x = 7$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $3 x = 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{7}{3}$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{7}{3}$

Paso 8

Obtén el dominio de $\frac{2 x + 3}{3 x - 7}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{2 x + 3}{3 x - 7}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 x - 7 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $x$

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Paso 8.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 7$

Paso 8.2.2

Divide cada término en $3 x = 7$ por $3$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 8.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$

$x > \frac{7}{3}$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (- 4) + 3}{3 (- 4) - 7} > 0$

Paso 10.1.3

$0.26315789$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (0) + 3}{3 (0) - 7} > 0$

Paso 10.2.3

$- 0.\overline{428571}$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{7}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{7}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (5) + 3}{3 (5) - 7} > 0$

Paso 10.3.3

$1.625$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{3}{2}$ Verdadero

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ Falso

$x > \frac{7}{3}$ Verdadero

$x < - \frac{3}{2}$ Verdadero

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ Falso

$x > \frac{7}{3}$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{3}{2}$ o $x > \frac{7}{3}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - \frac{3}{2} or x > \frac{7}{3}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Paso 13