Matemática discreta Ejemplos

$6 x + 8 y = 40$ , $8 x + 4 y = 32$

Paso 1

Resuelve $x$ en $6 x + 8 y = 40$ .

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Paso 1.1

Resta $8 y$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x = 40 - 8 y$

$8 x + 4 y = 32$

Paso 1.2

Divide cada término en $6 x = 40 - 8 y$ por $6$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $6 x = 40 - 8 y$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{40}{6} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{40}{6} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{40}{6} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{40}{6} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{40}{6} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $40$ y $6$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $40$ .

$x = \frac{2 (20)}{6} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Paso 1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 3} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Paso 1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 3} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Paso 1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{20}{3} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $6$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 8 y$ .

$x = \frac{20}{3} + \frac{2 (- 4 y)}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{20}{3} + \frac{2 (- 4 y)}{2 (3)}$

$8 x + 4 y = 32$

Paso 1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{20}{3} + \frac{2 (- 4 y)}{2 \cdot 3}$

$8 x + 4 y = 32$

Paso 1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{20}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

Paso 1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $8 x + 4 y = 32$ por $\frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$ .

$8 (\frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}) + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $8 (\frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}) + 4 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (\frac{20}{3}) + 8 (- \frac{4 y}{3}) + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $8 (\frac{20}{3})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Combina $8$ y $\frac{20}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 20}{3} + 8 (- \frac{4 y}{3}) + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $8$ por $20$ .

$\frac{160}{3} + 8 (- \frac{4 y}{3}) + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{160}{3} + 8 (- \frac{4 y}{3}) + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $8 (- \frac{4 y}{3})$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{160}{3} - 8 \frac{4 y}{3} + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Combina $- 8$ y $\frac{4 y}{3}$ .

$\frac{160}{3} + \frac{- 8 (4 y)}{3} + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$\frac{160}{3} + \frac{- 32 y}{3} + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{160}{3} + \frac{- 32 y}{3} + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{160}{3} - \frac{32 y}{3} + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{160}{3} - \frac{32 y}{3} + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $4 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{160}{3} - \frac{32 y}{3} + 4 y \cdot \frac{3}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.3

Combina $4 y$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{160}{3} - \frac{32 y}{3} + \frac{4 y \cdot 3}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{160}{3} + \frac{- 32 y + 4 y \cdot 3}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{160 - 32 y + 4 y \cdot 3}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{160 - 32 y + 12 y}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.7

Suma $- 32 y$ y $12 y$ .

$\frac{160 - 20 y}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.8

Factoriza $20$ de $160 - 20 y$ .

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Paso 2.2.1.8.1

Factoriza $20$ de $160$ .

$\frac{20 (8) - 20 y}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.8.2

Factoriza $20$ de $- 20 y$ .

$\frac{20 (8) + 20 (- y)}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 2.2.1.8.3

Factoriza $20$ de $20 (8) + 20 (- y)$ .

$\frac{20 (8 - y)}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{20 (8 - y)}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{20 (8 - y)}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{20 (8 - y)}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{20 (8 - y)}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{20 (8 - y)}{3} = 32$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $3$ .

$\frac{20 (8 - y)}{3} \cdot 3 = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{20 (8 - y)}{3} \cdot 3$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{20 (8 - y)}{3} \cdot 3 = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$20 (8 - y) = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$20 (8 - y) = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$20 \cdot 8 + 20 (- y) = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.2.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $20$ por $8$ .

$160 + 20 (- y) = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.2.1.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$160 - 20 y = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.2.1.1.3.3

Reordena $160$ y $- 20 y$ .

$- 20 y + 160 = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 20 y + 160 = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 20 y + 160 = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 20 y + 160 = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $32$ por $3$ .

$- 20 y + 160 = 96$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 20 y + 160 = 96$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 20 y + 160 = 96$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Resta $160$ de ambos lados de la ecuación.

$- 20 y = 96 - 160$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.3.1.2

Resta $160$ de $96$ .

$- 20 y = - 64$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 20 y = - 64$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $- 20 y = - 64$ por $- 20$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $- 20 y = - 64$ por $- 20$ .

$\frac{- 20 y}{- 20} = \frac{- 64}{- 20}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 20$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 20 y}{- 20} = \frac{- 64}{- 20}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 64}{- 20}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 64}{- 20}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 64}{- 20}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Cancela el factor común de $- 64$ y $- 20$ .

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Paso 3.3.2.3.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 64$ .

$y = \frac{- 4 \cdot 16}{- 20}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.3.1.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 20$ .

$y = \frac{- 4 \cdot 16}{- 4 \cdot 5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 4 \cdot 16}{- 4 \cdot 5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 3.3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{16}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$ por $\frac{16}{5}$ .

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 (\frac{16}{5})}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{20}{3} - \frac{4 (\frac{16}{5})}{3}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{20 - 4 (\frac{16}{5})}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 4 (\frac{16}{5})$ .

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Paso 4.2.1.2.1.1

Combina $- 4$ y $\frac{16}{5}$ .

$x = \frac{20 + \frac{- 4 \cdot 16}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 4.2.1.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{20 + \frac{- 64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20 + \frac{- 64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 4.2.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{20 - \frac{64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20 - \frac{64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 4.2.1.3

Para escribir $20$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$x = \frac{20 \cdot \frac{5}{5} - \frac{64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 4.2.1.4

Combina $20$ y $\frac{5}{5}$ .

$x = \frac{\frac{20 \cdot 5}{5} - \frac{64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 4.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\frac{20 \cdot 5 - 64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 4.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.6.1

Multiplica $20$ por $5$ .

$x = \frac{\frac{100 - 64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 4.2.1.6.2

Resta $64$ de $100$ .

$x = \frac{\frac{36}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{\frac{36}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 4.2.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{36}{5} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 4.2.1.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.8.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$x = \frac{3 (12)}{5} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 4.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 12}{5} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 4.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{16}{5}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{12}{5}, \frac{16}{5})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{12}{5}, \frac{16}{5})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{12}{5}, y = \frac{16}{5}$

Paso 7