Matemática discreta Ejemplos

$3 x + 2 y = 5$ , $6 x - 2 y = 5$

Paso 1

Resuelve $x$ en $3 x + 2 y = 5$ .

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Paso 1.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = 5 - 2 y$

$6 x - 2 y = 5$

Paso 1.2

Divide cada término en $3 x = 5 - 2 y$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $3 x = 5 - 2 y$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $6 x - 2 y = 5$ por $\frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$ .

$6 (\frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $6 (\frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}) - 2 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (\frac{5}{3}) + 6 (- \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) (\frac{5}{3}) + 6 (- \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot (2 (\frac{5}{3})) + 6 (- \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 5 + 6 (- \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$2 \cdot 5 + 6 (- \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 + 6 (- \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 y}{3}$ al numerador.

$10 + 6 (\frac{- 2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$10 + 3 (2) (\frac{- 2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.4.3

Cancela el factor común.

$10 + 3 \cdot (2 (\frac{- 2 y}{3})) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.4.4

Reescribe la expresión.

$10 + 2 (- 2 y) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 + 2 (- 2 y) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$10 - 4 y - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 - 4 y - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.2

Resta $2 y$ de $- 4 y$ .

$10 - 6 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 - 6 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 - 6 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 - 6 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $10 - 6 y = 5$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 y = 5 - 10$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.1.2

Resta $10$ de $5$ .

$- 6 y = - 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$- 6 y = - 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2

Divide cada término en $- 6 y = - 5$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $- 6 y = - 5$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{- 5}{- 6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{- 5}{- 6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 5}{- 6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 5}{- 6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 5}{- 6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{5}{6}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$ por $\frac{5}{6}$ .

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 (\frac{5}{6})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{5}{3} - \frac{2 (\frac{5}{6})}{3}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{5 - 2 (\frac{5}{6})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x = \frac{5 + 2 (- 1) (\frac{5}{6})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2.1.2.1.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{5 + 2 \cdot (- 1 \frac{5}{2 \cdot 3})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2.1.2.1.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{5 + 2 \cdot (- 1 \frac{5}{2 \cdot 3})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2.1.2.1.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5 - 1 (\frac{5}{3})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5 - 1 (\frac{5}{3})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2.1.2.2

Reescribe $- 1 (\frac{5}{3})$ como $- (\frac{5}{3})$ .

$x = \frac{5 - \frac{5}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5 - \frac{5}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2.1.3

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2.1.4

Combina $5$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{5}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\frac{5 \cdot 3 - 5}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.6.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$x = \frac{\frac{15 - 5}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2.1.6.2

Resta $5$ de $15$ .

$x = \frac{\frac{10}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{\frac{10}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2.1.8

Multiplica $\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 4.2.1.8.1

Multiplica $\frac{10}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{10}{3 \cdot 3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 4.2.1.8.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = \frac{10}{9}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{10}{9}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{10}{9}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{10}{9}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{10}{9}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{10}{9}, \frac{5}{6})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{10}{9}, \frac{5}{6})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{10}{9}, y = \frac{5}{6}$

Paso 7