Matemática discreta Ejemplos

$\begin{array}{c} x & y \\ 60 - 64 & 4 \\ 65 - 69 & 7 \\ 70 - 74 & 12 \\ 75 - 79 & 16 \\ 80 - 84 & 15 \\ 85 - 89 & 6 \end{array}$

Paso 1

Obtén el punto medio $M$ para cada grupo.

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Paso 1.1

El límite inferior de cada clase es el menor valor de la clase. Por el contrario, el límite superior de cada clase es el mayor valor de la clase.

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits \\ 60 - 64 & 4 & 60 & 64 \\ 65 - 69 & 7 & 65 & 69 \\ 70 - 74 & 12 & 70 & 74 \\ 75 - 79 & 16 & 75 & 79 \\ 80 - 84 & 15 & 80 & 84 \\ 85 - 89 & 6 & 85 & 89 \end{array}$

Paso 1.2

El punto medio de la clase es el límite inferior para la clase más el límite superior para la clase, dividido por $2$ .

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 60 & 64 & \frac{60 + 64}{2} \\ 65 - 69 & 7 & 65 & 69 & \frac{65 + 69}{2} \\ 70 - 74 & 12 & 70 & 74 & \frac{70 + 74}{2} \\ 75 - 79 & 16 & 75 & 79 & \frac{75 + 79}{2} \\ 80 - 84 & 15 & 80 & 84 & \frac{80 + 84}{2} \\ 85 - 89 & 6 & 85 & 89 & \frac{85 + 89}{2} \end{array}$

Paso 1.3

Simplifica toda la columna de puntos medios.

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 60 & 64 & 62 \\ 65 - 69 & 7 & 65 & 69 & 67 \\ 70 - 74 & 12 & 70 & 74 & 72 \\ 75 - 79 & 16 & 75 & 79 & 77 \\ 80 - 84 & 15 & 80 & 84 & 82 \\ 85 - 89 & 6 & 85 & 89 & 87 \end{array}$

Paso 1.4

Suma la columna de puntos medios a la tabla original.

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 62 \\ 65 - 69 & 7 & 67 \\ 70 - 74 & 12 & 72 \\ 75 - 79 & 16 & 77 \\ 80 - 84 & 15 & 82 \\ 85 - 89 & 6 & 87 \end{array}$

Paso 2

Calcula el cuadrado del punto medio de cada grupo $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 62^{2} \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 67^{2} \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 72^{2} \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 77^{2} \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 82^{2} \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 87^{2} \end{array}$

Paso 3

Simplifica la columna $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 3844 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 4489 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 5184 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 5929 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 6724 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 7569 \end{array}$

Paso 4

Multiplica cada punto medio al cuadrado por su frecuencia $f$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 3844 & 4 \cdot 3844 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 4489 & 7 \cdot 4489 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 5184 & 12 \cdot 5184 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 5929 & 16 \cdot 5929 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 6724 & 15 \cdot 6724 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 7569 & 6 \cdot 7569 \end{array}$

Paso 5

Simplifica la columna $f \cdot M^{2}$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 3844 & 15376 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 4489 & 31423 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 5184 & 62208 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 5929 & 94864 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 6724 & 100860 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 7569 & 45414 \end{array}$

Paso 6

Obtén la suma de todas las frecuencias. En este caso, la suma de todas las frecuencias es $n = 4, 7, 12, 16, 15, 6 = 60$ .

$\sum_{}^{} f = n = 60$

Paso 7

Obtén la suma de la columna $f \cdot M^{2}$ . En este caso, $15376 + 31423 + 62208 + 94864 + 100860 + 45414 = 350145$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 350145$

Paso 8

Obtén la media $μ$ .

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Paso 8.1

Obtén el punto medio $M$ para cada clase.

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 62 \\ 65 - 69 & 7 & 67 \\ 70 - 74 & 12 & 72 \\ 75 - 79 & 16 & 77 \\ 80 - 84 & 15 & 82 \\ 85 - 89 & 6 & 87 \end{array}$

Paso 8.2

Multiplica la frecuencia de cada clase por el punto medio de la clase.

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 4 \cdot 62 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 7 \cdot 67 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 12 \cdot 72 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 16 \cdot 77 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 15 \cdot 82 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 6 \cdot 87 \end{array}$

Paso 8.3

Simplifica la columna $f \cdot M$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 248 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 469 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 864 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 1232 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 1230 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 522 \end{array}$

Paso 8.4

Suma los valores en la columna $f \cdot M$ .

$248 + 469 + 864 + 1232 + 1230 + 522 = 4565$

Paso 8.5

Suma los valores en la columna de frecuencia.

$n = 4 + 7 + 12 + 16 + 15 + 6 = 60$

Paso 8.6

La media (mu) es la suma de $f \cdot M$ dividido por $n$ , que es la suma de frecuencias.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Paso 8.7

La media es la suma del producto de los puntos medios y las frecuencias, dividida por el total de frecuencias.

$μ = \frac{4565}{60}$

Paso 8.8

Simplifica el lado derecho de $μ = \frac{4565}{60}$ .

$76.08\overline{3}$

Paso 9

La ecuación para la desviación estándar es $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Paso 10

Sustituye los valores calculados en $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{350145 - 60 {(76.08\overline{3})}^{2}}{60 - 1}$

Paso 11

Simplifica el lado derecho de $S^{2} = \frac{350145 - 60 {(76.08\overline{3})}^{2}}{60 - 1}$ para obtener la varianza $S^{2} = 47.87429378$ .

$47.87429378$