Matemática discreta Ejemplos

$y = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x} - \sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + 3 x = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 3 = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ .

$x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 3 = 0$

Paso 2.2.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 3$ .

$x (x^{2} + 3 x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x^{2} + 3 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} + 3 x + 3$ igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 3$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Resta $12$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 2.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.3

Resta $12$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.4.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.5.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.5.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 2.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.3

Resta $12$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.5.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.5.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.5.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x^{2} + 3 x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \geq 0$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, 0]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y = 0}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[0, \infty), {x | x \geq 0}$

Rango: $[0, 0], {y | y = 0}$

Paso 6