Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} + y^{2} + 8 x + 2 y + 8 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = x^{2} + 8 x + 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 8 x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 8 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 8 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (8 x) - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $8$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 32 x - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 32 x - 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5

Resta $32$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6

Reescribe $- 4 x^{2} - 32 x - 28$ en forma factorizada.

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} - 32 x - 28$ .

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Paso 3.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 32 x - 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $- 32 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x) - 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $- 28$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x) + 4 (- 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x) + 4 (- 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} - 8 x) + 4 (- 7)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 7 = 7$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 3.1.6.2.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.1.2

Reescribe $- 8$ como $- 1$ más $- 7$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 1 - 7) x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 1 x - 7 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 1 x) - 7 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (x (- x - 1) + 7 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7

Reescribe $4 (- x - 1) (x + 7)$ como $2^{2} ((- x - 1) (x + 7))$ .

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Paso 3.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 8 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 8 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (8 x) - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $8$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 32 x - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 32 x - 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Resta $32$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6

Reescribe $- 4 x^{2} - 32 x - 28$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} - 32 x - 28$ .

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Paso 4.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 32 x - 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $- 32 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x) - 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $- 28$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x) + 4 (- 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x) + 4 (- 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} - 8 x) + 4 (- 7)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 7 = 7$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 4.1.6.2.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.1.2

Reescribe $- 8$ como $- 1$ más $- 7$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 1 - 7) x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 1 x - 7 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 1 x) - 7 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (x (- x - 1) + 7 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7

Reescribe $4 (- x - 1) (x + 7)$ como $2^{2} ((- x - 1) (x + 7))$ .

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Paso 4.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

Paso 4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = - 1 + \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 8 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 8 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (8 x) - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $8$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 32 x - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 32 x - 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Resta $32$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6

Reescribe $- 4 x^{2} - 32 x - 28$ en forma factorizada.

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Paso 5.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} - 32 x - 28$ .

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Paso 5.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 32 x - 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $- 32 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x) - 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $- 28$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x) + 4 (- 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x) + 4 (- 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} - 8 x) + 4 (- 7)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 7 = 7$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 5.1.6.2.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.1.2

Reescribe $- 8$ como $- 1$ más $- 7$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 1 - 7) x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 1 x - 7 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 1 x) - 7 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (x (- x - 1) + 7 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7

Reescribe $4 (- x - 1) (x + 7)$ como $2^{2} ((- x - 1) (x + 7))$ .

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Paso 5.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = - 1 - \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 1 + \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

$y = - 1 - \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(- x - 1) (x + 7) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Paso 8.2

Establece $- x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $- x - 1$ igual a $0$ .

$- x - 1 = 0$

Paso 8.2.2

Resuelve $- x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- x = 1$

Paso 8.2.2.2

Divide cada término en $- x = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.2.1

Divide cada término en $- x = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 8.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 8.2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Paso 8.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x = - 1$

Paso 8.3

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 8.3.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- x - 1) (x + 7) \geq 0$ verdadera.

$x = - 1, - 7$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 1$

$x > - 1$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$(- (- 10) - 1) ((- 10) + 7) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$- 27$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 7 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 7 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$(- (- 4) - 1) ((- 4) + 7) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$9$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(- (0) - 1) ((0) + 7) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$- 7$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < - 1$ Verdadero

$x > - 1$ Falso

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < - 1$ Verdadero

$x > - 1$ Falso

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 7 \leq x \leq - 1$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 7, - 1]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 7 \leq x \leq - 1}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 4, 2]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - 4 \leq y \leq 2}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- 7, - 1], {x | - 7 \leq x \leq - 1}$

Rango: $[- 4, 2], {y | - 4 \leq y \leq 2}$

Paso 12