Matemática discreta Ejemplos

\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

Paso 1

Reescribe la ecuación como

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Reescribe

9

$9$ como

3^{2}

$3^{2}$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

a = x

$a = x$ y

b = 3

$b = 3$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 3

Establece el radicando en

\sqrt{4 - x}

$\sqrt{4 - x}$ mayor o igual que

0

$0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

4 - x \geq 0

$4 - x \geq 0$

Paso 4

Resuelve

x

$x$

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Paso 4.1

Resta

4

$4$ de ambos lados de la desigualdad.

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$

Paso 4.2

Divide cada término en

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ por

- 1

$- 1$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término de

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ por

- 1

$- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 4.2.2.2

Divide

x

$x$ por

1

$1$ .

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Divide

- 4

$- 4$ por

- 1

$- 1$ .

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

Paso 5

Establece el radicando en

\sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ mayor o igual que

0

$0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Paso 6

Resuelve

x

$x$

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Paso 6.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

0

$0$ , la expresión completa será igual a

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Paso 6.2

Establece

x + 3

$x + 3$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

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Paso 6.2.1

Establece

x + 3

$x + 3$ igual a

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Paso 6.2.2

Resta

3

$3$ de ambos lados de la ecuación.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Paso 6.3

Establece

x - 3

$x - 3$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

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Paso 6.3.1

Establece

x - 3

$x - 3$ igual a

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Paso 6.3.2

Suma

3

$3$ a ambos lados de la ecuación.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Paso 6.4

La solución final comprende todos los valores que hacen

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$ verdadera.

x = - 3, 3

$x = - 3, 3$

Paso 6.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

x < - 3

$x < - 3$

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$

x > 3

$x > 3$

Paso 6.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.6.1

Prueba un valor en el intervalo

x < - 3

$x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.1.1

Elije un valor en el intervalo

x < - 3

$x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

x = - 6

$x = - 6$

Paso 6.6.1.2

Reemplaza

x

$x$ con

- 6

$- 6$ en la desigualdad original.

((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

Paso 6.6.1.3

27

$27$ del lado izquierdo es mayor que

0

$0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.6.2

Prueba un valor en el intervalo

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.2.1

Elije un valor en el intervalo

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

x = 0

$x = 0$

Paso 6.6.2.2

Reemplaza

x

$x$ con

0

$0$ en la desigualdad original.

((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

Paso 6.6.2.3

- 9

$- 9$ del lado izquierdo es menor que

0

$0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.6.3

Prueba un valor en el intervalo

x > 3

$x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.3.1

Elije un valor en el intervalo

x > 3

$x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

x = 6

$x = 6$

Paso 6.6.3.2

Reemplaza

x

$x$ con

6

$6$ en la desigualdad original.

((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

Paso 6.6.3.3

27

$27$ del lado izquierdo es mayor que

0

$0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

x < - 3

$x < - 3$ Verdadero

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ Falso

x > 3

$x > 3$ Verdadero

x < - 3

$x < - 3$ Verdadero

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ Falso

x > 3

$x > 3$ Verdadero

Paso 6.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

x \leq - 3

$x \leq - 3$ o

x \geq 3

$x \geq 3$

x \leq - 3

$x \leq - 3$ o

x \geq 3

$x \geq 3$

Paso 7

El dominio son todos los valores de

x

$x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

(- \infty, - 3] \cup [3, 4]

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

Notación del constructor de conjuntos:

{x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

Paso 8

El rango es el conjunto de todos los valores

y

$y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

No hay solución

Paso 9

Determina el dominio y el rango.

No hay solución

Paso 10