Matemática discreta Ejemplos

$y = \sqrt{12 + x - x^{2}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{12 + x - x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$12 + x - x^{2} \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$12 + x - x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $- 1$ de $12 + x - x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 2.2.1.1.1

Mueve $12$ .

$x - x^{2} + 12 = 0$

Paso 2.2.1.1.2

Reordena $x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 12 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

Paso 2.2.1.4

Reescribe $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Paso 2.2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - x - 12$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 4, 3$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 4) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 3$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 4$

$x > 4$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$12 - 6 - {(- 6)}^{2} \geq 0$

Paso 2.8.1.3

$- 30$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$12 + 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Paso 2.8.2.3

$12$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$12 + 6 - {(6)}^{2} \geq 0$

Paso 2.8.3.3

$- 18$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 3 \leq x \leq 4$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 3, 4]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 3 \leq x \leq 4}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, \frac{7}{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | 0 \leq y \leq \frac{7}{2}}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- 3, 4], {x | - 3 \leq x \leq 4}$

Rango: $[0, \frac{7}{2}], {y | 0 \leq y \leq \frac{7}{2}}$

Paso 6