Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{5 x^{2} - 9 x - 9}{8 x^{2} - 2 x + 8}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$8 x^{2} - 2 x + 8 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $8 x^{2} - 2 x + 8$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $2$ de $8 x^{2}$ .

$2 (4 x^{2}) - 2 x + 8 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 8 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 (4 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (4) = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $2$ de $2 (4 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (4 x^{2} - x) + 2 (4) = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (4 x^{2} - x) + 2 (4)$ .

$2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$

Paso 2.2

Divide cada término en $2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $2 (4 x^{2} - x + 4) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 x^{2} - x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $4 x^{2} - x + 4$ por $1$ .

$4 x^{2} - x + 4 = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$4 x^{2} - x + 4 = 0$

Paso 2.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 1$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 4)}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

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Paso 2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.1.3

Resta $64$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.1.4

Reescribe $- 63$ como $- 1 (63)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (63)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.1.7

Reescribe $63$ como $3^{2} \cdot 7$ .

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Paso 2.5.1.7.1

Factoriza $9$ de $63$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.6.1.3

Resta $64$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.6.1.4

Reescribe $- 63$ como $- 1 (63)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (63)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.6.1.7

Reescribe $63$ como $3^{2} \cdot 7$ .

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Paso 2.6.1.7.1

Factoriza $9$ de $63$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.6.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Paso 2.6.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Paso 2.6.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}$

Paso 2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 4$ .

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Paso 2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.7.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.7.1.3

Resta $64$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.7.1.4

Reescribe $- 63$ como $- 1 (63)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (63)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.7.1.7

Reescribe $63$ como $3^{2} \cdot 7$ .

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Paso 2.7.1.7.1

Factoriza $9$ de $63$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.7.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.7.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 4}$

Paso 2.7.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.7.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{8}$

Paso 2.7.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

Paso 2.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{8}, \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{8}$

Paso 3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Rango: $[- \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126}, - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}], {y | - \frac{41 + 2 \sqrt{4531}}{126} \leq y \leq - \frac{41 - 2 \sqrt{4531}}{126}}$

Paso 6