Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 73 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = x^{2} + 4 x - 73$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.2

Multiplica $x^{2} + 4 x - 73$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3

Resta $73$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4

Factoriza $x^{2} + 4 x - 77$ con el método AC.

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Paso 3.1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 77$ y cuya suma es $4$ .

$- 7, 11$

Paso 3.1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5

Reescribe $- 4 (x - 7) (x + 11)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

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Paso 3.1.5.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $x^{2} + 4 x - 73$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Resta $73$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Factoriza $x^{2} + 4 x - 77$ con el método AC.

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Paso 4.1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 77$ y cuya suma es $4$ .

$- 7, 11$

Paso 4.1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Reescribe $- 4 (x - 7) (x + 11)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Paso 4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $x^{2} + 4 x - 73$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Resta $73$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Factoriza $x^{2} + 4 x - 77$ con el método AC.

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Paso 5.1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 77$ y cuya suma es $4$ .

$- 7, 11$

Paso 5.1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Reescribe $- 4 (x - 7) (x + 11)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

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Paso 5.1.5.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 11 = 0$

Paso 8.2

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 8.2.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 8.3

Establece $x + 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $x + 11$ igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

Paso 8.3.2

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 11$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$ verdadera.

$x = 7, - 11$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 11$

$- 11 < x < 7$

$x > 7$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 11$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 11$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 14$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 14$ en la desigualdad original.

$- 1 ((- 14) - 7) ((- 14) + 11) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$- 63$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 11 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 11 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- 1 ((0) - 7) ((0) + 11) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$77$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$- 1 ((10) - 7) ((10) + 11) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$- 63$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 11$ Falso

$- 11 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

$x < - 11$ Falso

$- 11 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 11 \leq x \leq 7$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 11, 7]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 11 \leq x \leq 7}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 7, 11]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - 7 \leq y \leq 11}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- 11, 7], {x | - 11 \leq x \leq 7}$

Rango: $[- 7, 11], {y | - 7 \leq y \leq 11}$

Paso 12