Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{x^{2}}{48}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{48}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Paso 3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $64$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $64$ por $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{48}$ al numerador.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{48}$

Paso 3.2.1.3.2

Factoriza $16$ de $64$ .

$y^{2} = 64 + 16 (4) \frac{- x^{2}}{48}$

Paso 3.2.1.3.3

Factoriza $16$ de $48$ .

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Paso 3.2.1.3.4

Cancela el factor común.

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Paso 3.2.1.3.5

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 64 + 4 \frac{- x^{2}}{3}$

Paso 3.2.1.4

Combina $4$ y $\frac{- x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{4 (- x^{2})}{3}$

Paso 3.2.1.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Paso 3.2.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = 64 - \frac{4 x^{2}}{3}$

Paso 4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$ .

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Paso 5.1

Para escribir $64$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Paso 5.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1

Combina $64$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Paso 5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3 - 4 x^{2}}{3}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Factoriza $4$ de $64 \cdot 3 - 4 x^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Factoriza $4$ de $64 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) - 4 x^{2}}{3}}$

Paso 5.3.1.2

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})}{3}}$

Paso 5.3.1.3

Factoriza $4$ de $4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3 - x^{2})}{3}}$

Paso 5.3.2

Multiplica $16$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$

Paso 5.4

Reescribe $\sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2^{2} (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.5.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.6

Multiplica $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.7.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 5.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 5.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 5.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 5.7.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.8

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{3 (48 - x^{2})}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 (48 - x^{2}) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Divide cada término en $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 8.1.1

Divide cada término en $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 8.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 8.1.2.1.2

Divide $48 - x^{2}$ por $1$ .

$48 - x^{2} \geq \frac{0}{3}$

Paso 8.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$48 - x^{2} \geq 0$

Paso 8.2

Resta $48$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} \geq - 48$

Paso 8.3

Divide cada término en $- x^{2} \geq - 48$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.3.1

Divide cada término de $- x^{2} \geq - 48$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Paso 8.3.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Paso 8.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.3.1

Divide $- 48$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 48$

Paso 8.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{48}$

Paso 8.5

Simplifica la ecuación.

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Paso 8.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.5.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{48}$

Paso 8.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.5.2.1

Simplifica $\sqrt{48}$ .

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Paso 8.5.2.1.1

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.5.2.1.1.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$| x | \leq \sqrt{16 (3)}$

Paso 8.5.2.1.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Paso 8.5.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq | 4 | \sqrt{3}$

Paso 8.5.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$| x | \leq 4 \sqrt{3}$

Paso 8.6

Escribe $| x | \leq 4 \sqrt{3}$ como una función definida por partes.

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Paso 8.6.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 8.6.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq 4 \sqrt{3}$

Paso 8.6.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 8.6.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq 4 \sqrt{3}$

Paso 8.6.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq 4 \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \leq 4 \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Paso 8.7

Obtén la intersección de $x \leq 4 \sqrt{3}$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Paso 8.8

Resuelve $- x \leq 4 \sqrt{3}$ cuando $x < 0$ .

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Paso 8.8.1

Divide cada término en $- x \leq 4 \sqrt{3}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.8.1.1

Divide cada término de $- x \leq 4 \sqrt{3}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Paso 8.8.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.8.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Paso 8.8.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Paso 8.8.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.8.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (4 \sqrt{3})$

Paso 8.8.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot (4 \sqrt{3})$ como $- (4 \sqrt{3})$ .

$x \geq - (4 \sqrt{3})$

Paso 8.8.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x \geq - 4 \sqrt{3}$

Paso 8.8.2

Obtén la intersección de $x \geq - 4 \sqrt{3}$ y $x < 0$ .

$- 4 \sqrt{3} \leq x < 0$

Paso 8.9

Obtén la unión de las soluciones.

$- 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 8, 8]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}], {x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Rango: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Paso 12