Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{x^{2}}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 9$ .

$- 9 (- \frac{y^{2}}{9}) = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Paso 3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $- 9 (- \frac{y^{2}}{9})$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y^{2}}{9}$ al numerador.

$- 9 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Paso 3.1.1.1.2

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$9 (- 1) \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Paso 3.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$9 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Paso 3.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Paso 3.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Paso 3.1.1.2.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $- 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = - 9 \cdot 1 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$y^{2} = - 9 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 9 (- \frac{x^{2}}{4})$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$y^{2} = - 9 + 9 \frac{x^{2}}{4}$

Paso 3.2.1.3.2

Combina $9$ y $\frac{x^{2}}{4}$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4}$

Paso 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$ .

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Paso 5.1

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{4}}$

Paso 5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.3

Reescribe $\frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 3^{2} + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

Paso 5.4.2

Reordena $- 3^{2}$ y ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3 x}{2})}^{2} - 3^{2}}$

Paso 5.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{3 x}{2}$ y $b = 3$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 x}{2} + 3$ .

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Paso 5.6.1.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Paso 5.6.1.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3 (1)) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Paso 5.6.1.3

Factoriza $3$ de $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Paso 5.6.2

Factoriza $3$ de $\frac{3 x}{2} - 3$ .

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} - 3)}$

Paso 5.6.2.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} + 3 (- 1))}$

Paso 5.6.2.3

Factoriza $3$ de $3 \frac{x}{2} + 3 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 (\frac{x}{2} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) \cdot 3 (\frac{x}{2} - 1)}$

Paso 5.6.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}$

Paso 5.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}$

Paso 5.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}$

Paso 5.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}$

Paso 5.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}$

Paso 5.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 5.12

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 2}{2}}$

Paso 5.13

Combina exponentes.

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Paso 5.13.1

Combina $9$ y $\frac{x + 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2)}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}$

Paso 5.13.2

Multiplica $\frac{9 (x + 2)}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}$

Paso 5.13.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}}$

Paso 5.14

Reescribe $\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Paso 5.14.1

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9 (x + 2) (x - 2)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}$

Paso 5.14.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.14.3

Reorganiza la fracción $\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Paso 5.15

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{3}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 5.16

Combina $\frac{3}{2}$ y $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 8.2

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 8.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 8.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 8.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$12$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$- 4$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$12$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 2$ o $x \geq 2$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 2] \cup [2, \infty), {x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Rango: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Paso 12