Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{x^{2}}{225}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{625} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $625$ .

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $625$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 625 \cdot 1 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $625$ por $1$ .

$y^{2} = 625 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{225}$ al numerador.

$y^{2} = 625 + 625 \frac{- x^{2}}{225}$

Paso 3.2.1.3.2

Factoriza $25$ de $625$ .

$y^{2} = 625 + 25 (25) \frac{- x^{2}}{225}$

Paso 3.2.1.3.3

Factoriza $25$ de $225$ .

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Paso 3.2.1.3.4

Cancela el factor común.

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Paso 3.2.1.3.5

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 625 + 25 \frac{- x^{2}}{9}$

Paso 3.2.1.4

Combina $25$ y $\frac{- x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = 625 + \frac{25 (- x^{2})}{9}$

Paso 3.2.1.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$y^{2} = 625 + \frac{- 25 x^{2}}{9}$

Paso 3.2.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = 625 - \frac{25 x^{2}}{9}$

Paso 4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$ .

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Paso 5.1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 5.1.1

Reescribe $625$ como $25^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Paso 5.1.2

Reescribe $\frac{25 x^{2}}{9}$ como ${(\frac{5 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - {(\frac{5 x}{3})}^{2}}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 25$ y $b = \frac{5 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Paso 5.3

Para escribir $25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Paso 5.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.1

Combina $25$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{25 \cdot 3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Paso 5.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 3 + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1

Factoriza $5$ de $25 \cdot 3 + 5 x$ .

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Paso 5.5.1.1

Factoriza $5$ de $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Paso 5.5.1.2

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Paso 5.5.1.3

Factoriza $5$ de $5 (5 \cdot 3) + 5 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Paso 5.5.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Paso 5.6

Para escribir $25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Paso 5.7

Simplifica los términos.

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Paso 5.7.1

Combina $25$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (\frac{25 \cdot 3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Paso 5.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{25 \cdot 3 - 5 x}{3}}$

Paso 5.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.8.1

Factoriza $5$ de $25 \cdot 3 - 5 x$ .

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Paso 5.8.1.1

Factoriza $5$ de $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) - 5 x}{3}}$

Paso 5.8.1.2

Factoriza $5$ de $- 5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)}{3}}$

Paso 5.8.1.3

Factoriza $5$ de $5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3 - x)}{3}}$

Paso 5.8.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (15 - x)}{3}}$

Paso 5.9

Combina fracciones.

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Paso 5.9.1

Multiplica $\frac{5 (15 + x)}{3}$ por $\frac{5 (15 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x) (5 (15 - x))}{3 \cdot 3}}$

Paso 5.9.2

Multiplica.

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Paso 5.9.2.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{3 \cdot 3}}$

Paso 5.9.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}}$

Paso 5.10

Reescribe $\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}$ como ${(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))$ .

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Paso 5.10.1

Factoriza la potencia perfecta $5^{2}$ de $25 (15 + x) (15 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{9}}$

Paso 5.10.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.10.3

Reorganiza la fracción $\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))}$

Paso 5.11

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{5}{3} \sqrt{(15 + x) (15 - x)}$

Paso 5.12

Combina $\frac{5}{3}$ y $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(15 + x) (15 - x) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$15 + x = 0$

$15 - x = 0$

Paso 8.2

Establece $15 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $15 + x$ igual a $0$ .

$15 + x = 0$

Paso 8.2.2

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 15$

Paso 8.3

Establece $15 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $15 - x$ igual a $0$ .

$15 - x = 0$

Paso 8.3.2

Resuelve $15 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 8.3.2.1

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 15$

Paso 8.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 15$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 15$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

Paso 8.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

Paso 8.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 15}{- 1}$

Paso 8.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.2.3.1

Divide $- 15$ por $- 1$ .

$x = 15$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(15 + x) (15 - x) \geq 0$ verdadera.

$x = - 15, 15$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 15$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 15$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 18$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 18$ en la desigualdad original.

$(15 - 18) (15 - (- 18)) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$- 99$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 15 < x < 15$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 15 < x < 15$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(15 + 0) (15 - (0)) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$225$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 15$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 15$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 18$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $18$ en la desigualdad original.

$(15 + 18) (15 - (18)) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$- 99$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 15$ Falso

$- 15 < x < 15$ Verdadero

$x > 15$ Falso

$x < - 15$ Falso

$- 15 < x < 15$ Verdadero

$x > 15$ Falso

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 15 \leq x \leq 15$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 15, 15]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 15 \leq x \leq 15}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 25, 25]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - 25 \leq y \leq 25}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- 15, 15], {x | - 15 \leq x \leq 15}$

Rango: $[- 25, 25], {y | - 25 \leq y \leq 25}$

Paso 12