Matemática discreta Ejemplos

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{64} = 1$

Paso 1

Suma $\frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$

Paso 2

Simplifica $1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$ .

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Paso 2.1

Combina en una fracción.

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Paso 2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64}{64} + \frac{{(x - 3)}^{2}}{64}$

Paso 2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + {(x - 3)}^{2}}{64}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + (x - 3) (x - 3)}{64}$

Paso 2.2.2

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x (x - 3) - 3 (x - 3)}{64}$

Paso 2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)}{64}$

Paso 2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

Paso 2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

Paso 2.2.3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3}{64}$

Paso 2.2.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 3 x - 3 x + 9}{64}$

Paso 2.2.3.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{64 + x^{2} - 6 x + 9}{64}$

Paso 2.2.4

Suma $64$ y $9$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $36$ .

$36 \frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $36$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$36 \frac{{(y - 8)}^{2}}{36} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Paso 4.1.1.2

Reescribe la expresión.

${(y - 8)}^{2} = 36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $36 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $36$ .

${(y - 8)}^{2} = 4 (9) \frac{x^{2} - 6 x + 73}{64}$

Paso 4.2.1.1.2

Factoriza $4$ de $64$ .

${(y - 8)}^{2} = 4 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{4 \cdot 16}$

Paso 4.2.1.1.3

Cancela el factor común.

${(y - 8)}^{2} = 4 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{4 \cdot 16}$

Paso 4.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

${(y - 8)}^{2} = 9 \frac{x^{2} - 6 x + 73}{16}$

Paso 4.2.1.2

Combina $9$ y $\frac{x^{2} - 6 x + 73}{16}$ .

${(y - 8)}^{2} = \frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}$

Paso 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$

Paso 6

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$ .

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{9 (x^{2} - 6 x + 73)}{16}$ como ${(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 73)$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9 (x^{2} - 6 x + 73)$ .

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{16}}$

Paso 6.1.2

Factoriza la potencia perfecta $4^{2}$ de $16$ .

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{4^{2} \cdot 1}}$

Paso 6.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$y - 8 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 73)}$

Paso 6.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y - 8 = \pm \frac{3}{4} \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$

Paso 6.3

Combina $\frac{3}{4}$ y $\sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$ .

$y - 8 = \pm \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

Paso 7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y - 8 = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

Paso 7.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

Paso 7.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y - 8 = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4}$

Paso 7.4

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

Paso 7.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 73}}{4} + 8$

Paso 8

Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} - 6 x + 73}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} - 6 x + 73 \geq 0$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 6 x + 73 = 0$

Paso 9.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 9.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = 73$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 73)}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4

Simplifica.

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Paso 9.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 73$ .

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Paso 9.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $73$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.3

Resta $292$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.4

Reescribe $- 256$ como $- 1 (256)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (256)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.7

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.1.9

Mueve $16$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

Paso 9.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

Paso 9.4.3

Simplifica $\frac{6 \pm 16 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 8 i$

Paso 9.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 9.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 73$ .

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Paso 9.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $73$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.3

Resta $292$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.4

Reescribe $- 256$ como $- 1 (256)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (256)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.7

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.1.9

Mueve $16$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

Paso 9.5.3

Simplifica $\frac{6 \pm 16 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 8 i$

Paso 9.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 3 + 8 i$

Paso 9.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 9.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.6.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 73$ .

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Paso 9.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $73$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 292}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.6.1.3

Resta $292$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.6.1.4

Reescribe $- 256$ como $- 1 (256)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (256)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.6.1.7

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.6.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 16}{2 \cdot 1}$

Paso 9.6.1.9

Mueve $16$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2 \cdot 1}$

Paso 9.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 16 i}{2}$

Paso 9.6.3

Simplifica $\frac{6 \pm 16 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 8 i$

Paso 9.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 3 - 8 i$

Paso 9.7

Identifica el coeficiente principal.

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Paso 9.7.1

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$x^{2}$

Paso 9.7.2

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$1$

Paso 9.8

Como no hay intersecciones reales con x y el coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia arriba y $x^{2} - 6 x + 73$ siempre es mayor que $0$ .

Todos los números reales

Paso 10

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 11

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2] \cup [14, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \leq 2, y \geq 14}$

Paso 12

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Rango: $(- \infty, 2] \cup [14, \infty), {y | y \leq 2, y \geq 14}$

Paso 13