Matemática discreta Ejemplos

${(x + \frac{3}{4})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16}$

Paso 1

Resta ${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

${(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}$

Paso 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$ .

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Paso 3.1

Reescribe ${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ como $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - ((x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4}))}$

Paso 3.2

Expande $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x (x + \frac{3}{4}) + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Paso 3.3.1.2

Combina $x$ y $\frac{3}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Paso 3.3.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 \cdot x}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{3}{4}$ y $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{3}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4})}$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4 \cdot 4})}$

Paso 3.3.1.5.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

Paso 3.3.2

Suma $\frac{3 x}{4}$ y $\frac{3 x}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 (2)} + \frac{9}{16})}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 \cdot 2} + \frac{9}{16})}$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16})}$

Paso 3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - x^{2} - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{16}}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{25 - 9}{16}}$

Paso 3.6.2

Resta $9$ de $25$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{16}{16}}$

Paso 3.6.3

Divide $16$ por $16$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Paso 3.7

Para escribir $- x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Paso 3.8

Simplifica los términos.

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Paso 3.8.1

Combina $- x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

Paso 3.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2 - 3 x}{2} + 1}$

Paso 3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.1

Factoriza $x$ de $- x^{2} \cdot 2 - 3 x$ .

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Paso 3.9.1.1

Factoriza $x$ de $- x^{2} \cdot 2$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) - 3 x}{2} + 1}$

Paso 3.9.1.2

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3}{2} + 1}$

Paso 3.9.1.3

Factoriza $x$ de $x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2 - 3)}{2} + 1}$

Paso 3.9.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + 1}$

Paso 3.10

Combina en una fracción.

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Paso 3.10.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + \frac{2}{2}}$

Paso 3.10.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3) + 2}{2}}$

Paso 3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

Paso 3.11.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

Paso 3.11.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}}$

Paso 3.11.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.11.4.1

Mueve $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 (x \cdot x) - 3 \cdot x + 2}{2}}$

Paso 3.11.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 \cdot x + 2}{2}}$

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 x + 2}{2}}$

Paso 3.11.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.11.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 2 = - 4$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 3.11.5.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 (x) + 2}{2}}$

Paso 3.11.5.1.2

Reescribe $- 3$ como $1$ más $- 4$

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + (1 - 4) x + 2}{2}}$

Paso 3.11.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + 1 x - 4 x + 2}{2}}$

Paso 3.11.5.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + x - 4 x + 2}{2}}$

Paso 3.11.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.11.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x^{2} + x) - 4 x + 2}{2}}$

Paso 3.11.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x + 1) + 2 (- 2 x + 1)}{2}}$

Paso 3.11.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 x + 1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$

Paso 3.12

Reescribe $\sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$ como $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.13

Multiplica $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.14

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.14.1

Multiplica $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.14.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.14.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.14.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.14.5

Suma $1$ y $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.14.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.14.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.14.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.14.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.14.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.14.6.4.1

Cancela el factor común.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.14.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.14.6.5

Evalúa el exponente.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.15

Combina con la regla del producto para radicales.

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$

Paso 3.16

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Paso 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Paso 4.2

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 4.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

Paso 4.4

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 5

Establece el radicando en $\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 6.2

Establece $- 2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.2.1

Establece $- 2 x + 1$ igual a $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Paso 6.2.2

Resuelve $- 2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Paso 6.2.2.2

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 6.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 6.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, - 2$

Paso 6.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Paso 6.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 6.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$2 (- 2 \cdot - 4 + 1) ((- 4) + 2) \geq 0$

Paso 6.6.1.3

$- 36$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 6.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 (- 2 \cdot 0 + 1) ((0) + 2) \geq 0$

Paso 6.6.2.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 6.6.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$2 (- 2 \cdot 3 + 1) ((3) + 2) \geq 0$

Paso 6.6.3.3

$- 50$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Paso 6.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Paso 7

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 2, \frac{1}{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

Paso 8

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

Paso 9

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- 2, \frac{1}{2}], {x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

Rango: $[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}], {y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

Paso 10