Matemática discreta Ejemplos

Encuentre el dominio del cociente de las dos funciones f(x) = raíz cuadrada de x , g(x) = raíz cuadrada de 4-x^2
,
Paso 1
Obtén el cociente de las funciones.
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Paso 1.1
Reemplaza los designadores de función con las funciones reales en .
Paso 1.2
Simplifica.
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Paso 1.2.1
Simplifica el denominador.
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Paso 1.2.1.1
Reescribe como .
Paso 1.2.1.2
Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, , donde y .
Paso 1.2.2
Multiplica por .
Paso 1.2.3
Combina y simplifica el denominador.
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Paso 1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 1.2.3.2
Eleva a la potencia de .
Paso 1.2.3.3
Eleva a la potencia de .
Paso 1.2.3.4
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.2.3.5
Suma y .
Paso 1.2.3.6
Reescribe como .
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Paso 1.2.3.6.1
Usa para reescribir como .
Paso 1.2.3.6.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 1.2.3.6.3
Combina y .
Paso 1.2.3.6.4
Cancela el factor común de .
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Paso 1.2.3.6.4.1
Cancela el factor común.
Paso 1.2.3.6.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 1.2.3.6.5
Simplifica.
Paso 1.2.4
Combina con la regla del producto para radicales.
Paso 2
Establece el radicando en mayor o igual que para obtener el lugar donde está definida la expresión.
Paso 3
Resuelve
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Paso 3.1
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 3.2
Establece igual a .
Paso 3.3
Establece igual a y resuelve .
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Paso 3.3.1
Establece igual a .
Paso 3.3.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 3.4
Establece igual a y resuelve .
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Paso 3.4.1
Establece igual a .
Paso 3.4.2
Resuelve en .
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Paso 3.4.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 3.4.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 3.4.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 3.4.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 3.4.2.2.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 3.4.2.2.2.2
Divide por .
Paso 3.4.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 3.4.2.2.3.1
Divide por .
Paso 3.5
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 3.6
Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.
Paso 3.7
Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.
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Paso 3.7.1
Prueba un valor en el intervalo para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.
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Paso 3.7.1.1
Elije un valor en el intervalo y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.
Paso 3.7.1.2
Reemplaza con en la desigualdad original.
Paso 3.7.1.3
del lado izquierdo es mayor que del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.
True
True
Paso 3.7.2
Prueba un valor en el intervalo para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.
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Paso 3.7.2.1
Elije un valor en el intervalo y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.
Paso 3.7.2.2
Reemplaza con en la desigualdad original.
Paso 3.7.2.3
del lado izquierdo es menor que del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.
False
False
Paso 3.7.3
Prueba un valor en el intervalo para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.
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Paso 3.7.3.1
Elije un valor en el intervalo y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.
Paso 3.7.3.2
Reemplaza con en la desigualdad original.
Paso 3.7.3.3
del lado izquierdo es mayor que del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.
True
True
Paso 3.7.4
Prueba un valor en el intervalo para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.
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Paso 3.7.4.1
Elije un valor en el intervalo y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.
Paso 3.7.4.2
Reemplaza con en la desigualdad original.
Paso 3.7.4.3
del lado izquierdo es menor que del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.
False
False
Paso 3.7.5
Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.
Verdadero
Falso
Verdadero
Falso
Verdadero
Falso
Verdadero
Falso
Paso 3.8
La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.
o
o
Paso 4
Establece el denominador en igual que para obtener el lugar donde no está definida la expresión.
Paso 5
Resuelve
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Paso 5.1
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.2
Establece igual a y resuelve .
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Paso 5.2.1
Establece igual a .
Paso 5.2.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5.3
Establece igual a y resuelve .
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Paso 5.3.1
Establece igual a .
Paso 5.3.2
Resuelve en .
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Paso 5.3.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5.3.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 5.3.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 5.3.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 5.3.2.2.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 5.3.2.2.2.2
Divide por .
Paso 5.3.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 5.3.2.2.3.1
Divide por .
Paso 5.4
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 6
El dominio son todos los valores de que hacen que la expresión sea definida.
Notación de intervalo:
Notación del constructor de conjuntos:
Paso 7