Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x}$ , $g (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén el cociente de las funciones.

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Paso 1.1

Reemplaza los designadores de función con las funciones reales en $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}}$

Paso 1.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Paso 1.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Paso 1.2.3.2

Eleva $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Paso 1.2.3.3

Eleva $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}}$

Paso 1.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}}$

Paso 1.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ como $(2 + x) (2 - x)$ .

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Paso 1.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ como ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}}$

Paso 1.2.3.6.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Paso 1.2.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Paso 2

Establece el radicando en $\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x (2 + x) (2 - x) \geq 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Paso 3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.3

Establece $2 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.1

Establece $2 + x$ igual a $0$ .

$2 + x = 0$

Paso 3.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.4

Establece $2 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $2 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (2 + x) (2 - x) \geq 0$ verdadera.

$x = 0, - 2, 2$

Paso 3.6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Paso 3.7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 3.7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$- 4 (2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

Paso 3.7.1.3

$48$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.7.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 3.7.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$- 1 (2 - 1) (2 - (- 1)) \geq 0$

Paso 3.7.2.3

$- 3$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.7.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.7.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 3.7.3.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$1 (2 + 1) (2 - (1)) \geq 0$

Paso 3.7.3.3

$3$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.7.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.7.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 3.7.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$4 (2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

Paso 3.7.4.3

$- 48$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.7.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 3.8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 2$ o $0 \leq x \leq 2$

Paso 4

Establece el denominador en $\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(2 + x) (2 - x) = 0$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Paso 5.2

Establece $2 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.2.1

Establece $2 + x$ igual a $0$ .

$2 + x = 0$

Paso 5.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 5.3

Establece $2 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $2 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 5.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 5.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 5.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 + x) (2 - x) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 6

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup [0, 2)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < - 2, 0 \leq x < 2}$

Paso 7