Matemática discreta Ejemplos

(9, 8)

$(9, 8)$ ,

(9, 3)

$(9, 3)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

Paso 2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Multiplica

9

$9$ por

9

$9$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

8

$8$ por

3

$3$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

Paso 2.2.2

Suma

81

$81$ y

24

$24$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

Paso 3

Obtén la magnitud de

a⃗

$a⃗$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Eleva

9

$9$ a la potencia de

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva

8

$8$ a la potencia de

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

Paso 3.2.3

Suma

81

$81$ y

64

$64$ .

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

Paso 4

Obtén la magnitud de

b⃗

$b⃗$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Eleva

9

$9$ a la potencia de

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva

3

$3$ a la potencia de

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

Paso 4.2.3

Suma

81

$81$ y

9

$9$ .

| b⃗ | = \sqrt{90}

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Paso 4.2.4

Reescribe

90

$90$ como

3^{2} \cdot 10

$3^{2} \cdot 10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Factoriza

9

$9$ de

90

$90$ .

| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe

9

$9$ como

3^{2}

$3^{2}$ .

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Paso 4.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Cancela el factor común de

$105$ y

$3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Factoriza

$3$ de

$105$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1

Factoriza

$3$ de

$\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

Paso 6.2.2

Multiplica

$145$ por

$10$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

Paso 6.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Reescribe

$1450$ como

$5^{2} \cdot 58$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1

Factoriza

$25$ de

$1450$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

Paso 6.3.1.2

Reescribe

$25$ como

$5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

Paso 6.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

Paso 6.4

Cancela el factor común de

$35$ y

$5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Factoriza

$5$ de

$35$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Paso 6.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1

Factoriza

$5$ de

$5 \sqrt{58}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

Paso 6.4.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Paso 6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

Paso 6.5

Multiplica

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ por

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

Paso 6.6

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1

Multiplica

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ por

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

Paso 6.6.2

Eleva

$\sqrt{58}$ a la potencia de

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

Paso 6.6.3

Eleva

$\sqrt{58}$ a la potencia de

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

Paso 6.6.4

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

Paso 6.6.5

Suma

$1$ y

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

Paso 6.6.6

Reescribe

${\sqrt{58}}^{2}$ como

$58$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{58}$ como

$58^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.6.6.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.6.6.4

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

Paso 6.6.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

Paso 6.7

Evalúa

$\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ .

$θ = 23.19859051$