Matemática discreta Ejemplos

$(0, 154000)$ , $(10, 87000)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 \cdot 10 + 154000 \cdot 87000$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $0$ por $10$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 154000 \cdot 87000$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $154000$ por $87000$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 13398000000$

Paso 2.2.2

Suma $0$ y $13398000000$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 13398000000$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{0^{2} + 154000^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 154000^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $154000$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 23716000000}$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $23716000000$ .

$| a⃗ | = \sqrt{23716000000}$

Paso 3.2.4

Reescribe $23716000000$ como $154000^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{154000^{2}}$

Paso 3.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| a⃗ | = 154000$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{10^{2} + 87000^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{100 + 87000^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $87000$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{100 + 7569000000}$

Paso 4.2.3

Suma $100$ y $7569000000$ .

$| b⃗ | = \sqrt{7569000100}$

Paso 4.2.4

Reescribe $7569000100$ como $10^{2} \cdot 75690001$ .

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Paso 4.2.4.1

Factoriza $100$ de $7569000100$ .

$| b⃗ | = \sqrt{100 (75690001)}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10^{2} \cdot 75690001}$

Paso 4.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| b⃗ | = 10 \sqrt{75690001}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{13398000000}{154000 (10 \sqrt{75690001})})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $13398000000$ y $154000$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $154000$ de $13398000000$ .

$θ = \arccos (\frac{154000 \cdot 87000}{154000 (10 \sqrt{75690001})})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{154000 \cdot 87000}{154000 (10 \sqrt{75690001})})$

Paso 6.1.2.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{87000}{10 \sqrt{75690001}})$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $87000$ y $10$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $10$ de $87000$ .

$θ = \arccos (\frac{10 \cdot 8700}{10 \sqrt{75690001}})$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $10$ de $10 \sqrt{75690001}$ .

$θ = \arccos (\frac{10 \cdot 8700}{10 (\sqrt{75690001})})$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{10 \cdot 8700}{10 \sqrt{75690001}})$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{8700}{\sqrt{75690001}})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{8700}{\sqrt{75690001}}$ por $\frac{\sqrt{75690001}}{\sqrt{75690001}}$ .

$θ = \arccos (\frac{8700}{\sqrt{75690001}} \cdot \frac{\sqrt{75690001}}{\sqrt{75690001}})$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{8700}{\sqrt{75690001}}$ por $\frac{\sqrt{75690001}}{\sqrt{75690001}}$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{\sqrt{75690001} \sqrt{75690001}})$

Paso 6.4.2

Eleva $\sqrt{75690001}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{{\sqrt{75690001}}^{1} \sqrt{75690001}})$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{75690001}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{{\sqrt{75690001}}^{1} {\sqrt{75690001}}^{1}})$

Paso 6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{{\sqrt{75690001}}^{1 + 1}})$

Paso 6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{{\sqrt{75690001}}^{2}})$

Paso 6.4.6

Reescribe ${\sqrt{75690001}}^{2}$ como $75690001$ .

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Paso 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{75690001}$ como $75690001^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{{(75690001^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{75690001^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{75690001^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{75690001^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{75690001^{1}})$

Paso 6.4.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{75690001})$

Paso 6.5

Evalúa $\arccos (\frac{8700 \sqrt{75690001}}{75690001})$ .

$θ = 0.00658572$