Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & \frac{- 1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$

Paso 1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$

Paso 2

Multiplica $[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Paso 2.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{7} \cdot 1 + \frac{2}{7} \cdot 3 & \frac{1}{7} \cdot 2 + \frac{2}{7} \cdot 1 \\ \frac{3}{7} \cdot 1 - \frac{1}{7} \cdot 3 & \frac{3}{7} \cdot 2 - \frac{1}{7} \cdot 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$

Paso 2.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{7} \\ 0 & \frac{5}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$

Paso 3

Multiplica $[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{7} \\ 0 & \frac{5}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Paso 3.1

Paso 3.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 1 x + \frac{4}{7} y \\ 0 x + \frac{5}{7} y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$

Paso 3.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} x + \frac{4 y}{7} \\ \frac{5 y}{7} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$

Paso 4

Multiplica $[\begin{array}{c} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \end{array}]$ .

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Paso 4.1

Paso 4.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} x + \frac{4 y}{7} \\ \frac{5 y}{7} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{7} \cdot - 1 + \frac{2}{7} \cdot 4 \\ \frac{3}{7} \cdot - 1 - \frac{1}{7} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 4.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} x + \frac{4 y}{7} \\ \frac{5 y}{7} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]$

Paso 5

Write as a linear system of equations.

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$\frac{5 y}{7} = - 1$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 6.1

Resuelve $y$ en $\frac{5 y}{7} = - 1$ .

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Paso 6.1.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{7}{5}$ .

$\frac{7}{5} \cdot \frac{5 y}{7} = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Paso 6.1.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.1.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.2.1.1

Simplifica $\frac{7}{5} \cdot \frac{5 y}{7}$ .

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Paso 6.1.2.1.1.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 6.1.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7}{5} \cdot \frac{5 y}{7} = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Paso 6.1.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5} \cdot (5 y) = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$\frac{1}{5} \cdot (5 y) = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Paso 6.1.2.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.1.2.1.1.2.1

Factoriza $5$ de $5 y$ .

$\frac{1}{5} \cdot (5 (y)) = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Paso 6.1.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5} \cdot (5 y) = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Paso 6.1.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = \frac{7}{5} \cdot - 1$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Paso 6.1.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.2.2.1

Simplifica $\frac{7}{5} \cdot - 1$ .

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Paso 6.1.2.2.1.1

Multiplica $\frac{7}{5} \cdot - 1$ .

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Paso 6.1.2.2.1.1.1

Combina $\frac{7}{5}$ y $- 1$ .

$y = \frac{7 \cdot - 1}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Paso 6.1.2.2.1.1.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = \frac{- 7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Paso 6.1.2.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{4 y}{7} = 1$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{7}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x + \frac{4 y}{7} = 1$ por $- \frac{7}{5}$ .

$x + \frac{4 (- \frac{7}{5})}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$x + \frac{- 4 (\frac{7}{5})}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Combina $- 4$ y $\frac{7}{5}$ .

$x + \frac{\frac{- 4 \cdot 7}{5}}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{\frac{- 4 \cdot 7}{5}}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $7$ .

$x + \frac{\frac{- 28}{5}}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x + \frac{- \frac{28}{5}}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.2.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x - \frac{28}{5} \cdot \frac{1}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.2.2.1.5

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 6.2.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{28}{5}$ al numerador.

$x + \frac{- 28}{5} \cdot \frac{1}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.2.2.1.5.2

Factoriza $7$ de $- 28$ .

$x + \frac{7 (- 4)}{5} \cdot \frac{1}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.2.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$x + \frac{7 \cdot - 4}{5} \cdot \frac{1}{7} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.2.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$x + \frac{- 4}{5} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x + \frac{- 4}{5} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.2.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x - \frac{4}{5} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x - \frac{4}{5} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x - \frac{4}{5} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

$x - \frac{4}{5} = 1$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Suma $\frac{4}{5}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1 + \frac{4}{5}$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x = \frac{5}{5} + \frac{4}{5}$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{5 + 4}{5}$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.3.4

Suma $5$ y $4$ .

$x = \frac{9}{5}$

$y = - \frac{7}{5}$

$x = \frac{9}{5}$

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$x = \frac{9}{5} y = - \frac{7}{5}$

Paso 6.5

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{9}{5}, y = - \frac{7}{5}$