Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ 11 \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Paso 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Paso 1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y \\ 4 x + 3 y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ 11 \end{array}]$

Paso 2

Write as a linear system of equations.

$3 x - 2 y = - 6$

$4 x + 3 y = 11$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $x$ en $3 x - 2 y = - 6$ .

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Paso 3.1.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 6 + 2 y$

$4 x + 3 y = 11$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $3 x = - 6 + 2 y$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $3 x = - 6 + 2 y$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = \frac{- 6}{3} + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Divide $- 6$ por $3$ .

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$4 x + 3 y = 11$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 2 + \frac{2 y}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $4 x + 3 y = 11$ por $- 2 + \frac{2 y}{3}$ .

$4 (- 2 + \frac{2 y}{3}) + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $4 (- 2 + \frac{2 y}{3}) + 3 y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot - 2 + 4 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$- 8 + 4 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $4 \frac{2 y}{3}$ .

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Paso 3.2.2.1.1.3.1

Combina $4$ y $\frac{2 y}{3}$ .

$- 8 + \frac{4 (2 y)}{3} + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.1.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $3 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 8 + \frac{8 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $3 y$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 8 + \frac{8 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 8 + \frac{8 y + 3 y \cdot 3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{8 y + 3 y \cdot 3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.2.1.4.1.1

Factoriza $y$ de $8 y + 3 y \cdot 3$ .

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Paso 3.2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $y$ de $8 y$ .

$- 8 + \frac{y \cdot 8 + 3 y \cdot 3}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $y$ de $3 y \cdot 3$ .

$- 8 + \frac{y \cdot 8 + y (3 \cdot 3)}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 8 + y (3 \cdot 3)$ .

$- 8 + \frac{y (8 + 3 \cdot 3)}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{y (8 + 3 \cdot 3)}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.4.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- 8 + \frac{y (8 + 9)}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.4.1.3

Suma $8$ y $9$ .

$- 8 + \frac{y \cdot 17}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{y \cdot 17}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.4.2

Mueve $17$ a la izquierda de $y$ .

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3

Resuelve $y$ en $- 8 + \frac{17 y}{3} = 11$ .

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{17 y}{3} = 11 + 8$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.1.2

Suma $11$ y $8$ .

$\frac{17 y}{3} = 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$\frac{17 y}{3} = 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{17}$ .

$\frac{3}{17} \cdot \frac{17 y}{3} = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.1.1

Simplifica $\frac{3}{17} \cdot \frac{17 y}{3}$ .

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Paso 3.3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{17} \cdot \frac{17 y}{3} = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $17$ .

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Paso 3.3.3.1.1.2.1

Factoriza $17$ de $17 y$ .

$\frac{1}{17} \cdot (17 (y)) = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{17} \cdot 19$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.2.1

Multiplica $\frac{3}{17} \cdot 19$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Combina $\frac{3}{17}$ y $19$ .

$y = \frac{3 \cdot 19}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $19$ .

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{57}{17}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - 2 + \frac{2 y}{3}$ por $\frac{57}{17}$ .

$x = - 2 + \frac{2 (\frac{57}{17})}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- 2 + \frac{2 (\frac{57}{17})}{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Combina $2$ y $\frac{57}{17}$ .

$x = - 2 + \frac{\frac{2 \cdot 57}{17}}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $57$ .

$x = - 2 + \frac{\frac{114}{17}}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Paso 3.4.2.1.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - 2 + \frac{114}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Paso 3.4.2.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.1.1.4.1

Factoriza $3$ de $114$ .

$x = - 2 + \frac{3 (38)}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Paso 3.4.2.1.1.4.2

Cancela el factor común.

$x = - 2 + \frac{3 \cdot 38}{17} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{57}{17}$

Paso 3.4.2.1.1.4.3

Reescribe la expresión.

$x = - 2 + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = - 2 + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Paso 3.4.2.1.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{17}{17}$ .

$x = - 2 \cdot \frac{17}{17} + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Paso 3.4.2.1.3

Combina $- 2$ y $\frac{17}{17}$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 17}{17} + \frac{38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Paso 3.4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 2 \cdot 17 + 38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Paso 3.4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $17$ .

$x = \frac{- 34 + 38}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Paso 3.4.2.1.5.2

Suma $- 34$ y $38$ .

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

$x = \frac{4}{17}$

$y = \frac{57}{17}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{4}{17}, y = \frac{57}{17}$