Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} a + 2 b & - 2 a - 3 b \\ c + 2 d & - 2 c - 3 d \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 4 \end{array}]$

Paso 1

Escribe como un sistema de ecuaciones lineales

$a + 2 b = 2$

$- 2 a - 3 b = - 4$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

Paso 2

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Resta $2 b$ de ambos lados de la ecuación.

$a = 2 - 2 b$

$- 2 a - 3 b = - 4$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

Paso 2.2

Reemplaza todos los casos de $a$ por $2 - 2 b$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.1

Reemplaza todos los casos de $a$ en $- 2 a - 3 b = - 4$ por $2 - 2 b$ .

$- 2 (2 - 2 b) - 3 b = - 4$

$a = 2 - 2 b$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica $- 2 (2 - 2 b) - 3 b$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \cdot 2 - 2 (- 2 b) - 3 b = - 4$

$a = 2 - 2 b$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

Paso 2.2.2.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 4 - 2 (- 2 b) - 3 b = - 4$

$a = 2 - 2 b$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

Paso 2.2.2.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$- 4 + 4 b - 3 b = - 4$

$a = 2 - 2 b$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

$- 4 + 4 b - 3 b = - 4$

$a = 2 - 2 b$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

Paso 2.2.2.1.2

Resta $3 b$ de $4 b$ .

$- 4 + b = - 4$

$a = 2 - 2 b$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

$- 4 + b = - 4$

$a = 2 - 2 b$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

$- 4 + b = - 4$

$a = 2 - 2 b$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

$- 4 + b = - 4$

$a = 2 - 2 b$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

Paso 2.3

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$b = - 4 + 4$

$a = 2 - 2 b$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

Paso 2.3.2

Suma $- 4$ y $4$ .

$b = 0$

$a = 2 - 2 b$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

$b = 0$

$a = 2 - 2 b$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

Paso 2.4

Reemplaza todos los casos de $b$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 2.4.1

Reemplaza todos los casos de $b$ en $a = 2 - 2 b$ por $0$ .

$a = 2 - 2 \cdot 0$

$b = 0$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica $2 - 2 \cdot 0$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$a = 2 + 0$

$b = 0$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

Paso 2.4.2.1.2

Suma $2$ y $0$ .

$a = 2$

$b = 0$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

$a = 2$

$b = 0$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

$a = 2$

$b = 0$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

$a = 2$

$b = 0$

$c + 2 d = 5$

$- 2 c - 3 d = - 4$

Paso 2.5

Resta $2 d$ de ambos lados de la ecuación.

$c = 5 - 2 d$

$a = 2$

$b = 0$

$- 2 c - 3 d = - 4$

Paso 2.6

Reemplaza todos los casos de $c$ por $5 - 2 d$ en cada ecuación.

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Paso 2.6.1

Reemplaza todos los casos de $c$ en $- 2 c - 3 d = - 4$ por $5 - 2 d$ .

$- 2 (5 - 2 d) - 3 d = - 4$

$c = 5 - 2 d$

$a = 2$

$b = 0$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.1

Simplifica $- 2 (5 - 2 d) - 3 d$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \cdot 5 - 2 (- 2 d) - 3 d = - 4$

$c = 5 - 2 d$

$a = 2$

$b = 0$

Paso 2.6.2.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$- 10 - 2 (- 2 d) - 3 d = - 4$

$c = 5 - 2 d$

$a = 2$

$b = 0$

Paso 2.6.2.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$- 10 + 4 d - 3 d = - 4$

$c = 5 - 2 d$

$a = 2$

$b = 0$

$- 10 + 4 d - 3 d = - 4$

$c = 5 - 2 d$

$a = 2$

$b = 0$

Paso 2.6.2.1.2

Resta $3 d$ de $4 d$ .

$- 10 + d = - 4$

$c = 5 - 2 d$

$a = 2$

$b = 0$

$- 10 + d = - 4$

$c = 5 - 2 d$

$a = 2$

$b = 0$

$- 10 + d = - 4$

$c = 5 - 2 d$

$a = 2$

$b = 0$

$- 10 + d = - 4$

$c = 5 - 2 d$

$a = 2$

$b = 0$

Paso 2.7

Mueve todos los términos que no contengan $d$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.7.1

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$d = - 4 + 10$

$c = 5 - 2 d$

$a = 2$

$b = 0$

Paso 2.7.2

Suma $- 4$ y $10$ .

$d = 6$

$c = 5 - 2 d$

$a = 2$

$b = 0$

$d = 6$

$c = 5 - 2 d$

$a = 2$

$b = 0$

Paso 2.8

Reemplaza todos los casos de $d$ por $6$ en cada ecuación.

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Paso 2.8.1

Reemplaza todos los casos de $d$ en $c = 5 - 2 d$ por $6$ .

$c = 5 - 2 \cdot 6$

$d = 6$

$a = 2$

$b = 0$

Paso 2.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.8.2.1

Simplifica $5 - 2 \cdot 6$ .

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Paso 2.8.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$c = 5 - 12$

$d = 6$

$a = 2$

$b = 0$

Paso 2.8.2.1.2

Resta $12$ de $5$ .

$c = - 7$

$d = 6$

$a = 2$

$b = 0$

$c = - 7$

$d = 6$

$a = 2$

$b = 0$

$c = - 7$

$d = 6$

$a = 2$

$b = 0$

$c = - 7$

$d = 6$

$a = 2$

$b = 0$

Paso 2.9

Enumera todas las soluciones.

$c = - 7, d = 6, a = 2, b = 0$