Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 4 & - 2 & 6 \end{array}]$

Paso 1

Find the inverse of $[\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$ .

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Paso 1.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 1.2

Find the determinant.

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Paso 1.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot 1 - 2 \cdot 3$

Paso 1.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 - 2 \cdot 3$

Paso 1.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$4 - 6$

Paso 1.2.2.2

Resta $6$ de $4$ .

$- 2$

Paso 1.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 1.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} 1 & - 3 \\ - 2 & 4 \end{array}]$

Paso 1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 & - 3 \\ - 2 & 4 \end{array}]$

Paso 1.6

Multiplica $- \frac{1}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 1.7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 1.7.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 3$ .

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Paso 1.7.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 3 (\frac{1}{2}) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 1.7.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 1.7.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{- 1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 1.7.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1)) & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 1.7.3.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 1.7.3.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ - 1 \cdot - 1 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 1.7.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 1.7.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & \frac{- 1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 1.7.5.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) \end{array}]$

Paso 1.7.5.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) \end{array}]$

Paso 1.7.5.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

Paso 1.7.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & - 2 \end{array}]$

Paso 2

Multiply both sides by the inverse of $[\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & - 2 \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & - 2 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 4 & - 2 & 6 \end{array}]$

Paso 3

Simplifica la ecuación.

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Paso 3.1

Multiplica $[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & - 2 \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$ .

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Paso 3.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Paso 3.1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{3}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{3}{2} \cdot 1 \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 & 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & - 2 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 4 & - 2 & 6 \end{array}]$

Paso 3.1.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & - 2 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 4 & - 2 & 6 \end{array}]$

Paso 3.2

Multiplying the identity matrix by any matrix $A$ is the matrix $A$ itself.

$x = [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & - 2 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 4 & - 2 & 6 \end{array}]$

Paso 3.3

Multiplica $[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & - 2 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 4 & - 2 & 6 \end{array}]$ .

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Paso 3.3.1

Paso 3.3.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$x = [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{3}{2} \cdot 4 & - \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 6 \\ 1 \cdot 2 - 2 \cdot 4 & 1 \cdot 0 - 2 \cdot - 2 & 1 \cdot 1 - 2 \cdot 6 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$x = [\begin{array}{c} 5 & - 3 & \frac{17}{2} \\ - 6 & 4 & - 11 \end{array}]$