Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} - 4 & - 2 \\ 3 & - 5 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] + [\begin{array}{c} 13 \\ - 14 \end{array}] = [\begin{array}{c} 23 \\ - 28 \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $[\begin{array}{c} - 4 & - 2 \\ 3 & - 5 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Paso 1.1

Dos matrices pueden multiplicarse solo si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz. En este caso, la primera matriz es $2 \times 2$ y la segunda matriz es $2 \times 1$ .

Paso 1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} - 4 x - 2 y \\ 3 x - 5 y \end{array}] + [\begin{array}{c} 13 \\ - 14 \end{array}] = [\begin{array}{c} 23 \\ - 28 \end{array}]$

Paso 2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} - 4 x - 2 y + 13 \\ 3 x - 5 y - 14 \end{array}] = [\begin{array}{c} 23 \\ - 28 \end{array}]$

Paso 3

Escribe como un sistema de ecuaciones lineales

$- 4 x - 2 y + 13 = 23$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.1

Resuelve $x$ en $- 4 x - 2 y + 13 = 23$ .

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Paso 4.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1.1.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 x + 13 = 23 + 2 y$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.1.2

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = 23 + 2 y - 13$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.1.3

Resta $13$ de $23$ .

$- 4 x = 2 y + 10$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$- 4 x = 2 y + 10$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.2

Divide cada término en $- 4 x = 2 y + 10$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Divide cada término en $- 4 x = 2 y + 10$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 4.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ y $- 4$ .

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Paso 4.1.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$x = \frac{2 (y)}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot - 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 y}{2 \cdot - 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.2.3.1.3

Cancela el factor común de $10$ y $- 4$ .

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Paso 4.1.2.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 (5)}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{5}{- 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} + \frac{5}{- 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} + \frac{5}{- 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.1.2.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Paso 4.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 4.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x - 5 y - 14 = - 28$ por $- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ .

$3 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $3 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 5 y - 14$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- \frac{y}{2}) + 3 (- \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Multiplica $3 (- \frac{y}{2})$ .

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Paso 4.2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \frac{y}{2} + 3 (- \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{y}{2}$ .

$\frac{- 3 y}{2} + 3 (- \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$\frac{- 3 y}{2} + 3 (- \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.1.3

Multiplica $3 (- \frac{5}{2})$ .

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Paso 4.2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 y}{2} - 3 (\frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.1.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 3 y}{2} + \frac{- 3 \cdot 5}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$\frac{- 3 y}{2} + \frac{- 15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$\frac{- 3 y}{2} + \frac{- 15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 y}{2} + \frac{- 15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 y}{2} - \frac{15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{3 y}{2} - \frac{15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{3 y}{2} - \frac{15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Para escribir $- 5 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 y}{2} - 5 y \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2} - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.3

Combina $- 5 y$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 y}{2} + \frac{- 5 y \cdot 2}{2} - \frac{15}{2} - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 y - 5 y \cdot 2}{2} - \frac{15}{2} - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 14 + \frac{- 3 y - 5 y \cdot 2 - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.6

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$- 14 + \frac{- 3 y - 10 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.7

Resta $10 y$ de $- 3 y$ .

$- 14 + \frac{- 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.8

Para escribir $- 14$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 14 \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.9

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.2.1.9.1

Combina $- 14$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 14 \cdot 2}{2} + \frac{- 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 14 \cdot 2 - 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$\frac{- 14 \cdot 2 - 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.1.10.1

Multiplica $- 14$ por $2$ .

$\frac{- 28 - 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.10.2

Resta $15$ de $- 28$ .

$\frac{- 13 y - 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$\frac{- 13 y - 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.11

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.2.2.1.11.1

Factoriza $- 1$ de $- 13 y$ .

$\frac{- (13 y) - 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.11.2

Reescribe $- 43$ como $- 1 (43)$ .

$\frac{- (13 y) - 1 \cdot 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.11.3

Factoriza $- 1$ de $- (13 y) - 1 (43)$ .

$\frac{- (13 y + 43)}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.11.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1.11.4.1

Reescribe $- (13 y + 43)$ como $- 1 (13 y + 43)$ .

$\frac{- 1 (13 y + 43)}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.2.2.1.11.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3

Resuelve $y$ en $- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{13 y + 43}{2}) = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{13 y + 43}{2})$ .

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Paso 4.3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{13 y + 43}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- (13 y + 43)}{2} = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3.2.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) (\frac{- (13 y + 43)}{2}) = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot (- 1 \frac{- (13 y + 43)}{2}) = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3.2.1.1.2

Multiplica.

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Paso 4.3.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (13 y + 43) = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3.2.1.1.2.2

Multiplica $13 y + 43$ por $1$ .

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 28$ .

$13 y + 43 = 56$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = 56$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = 56$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.3.1

Resta $43$ de ambos lados de la ecuación.

$13 y = 56 - 43$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3.3.2

Resta $43$ de $56$ .

$13 y = 13$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y = 13$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3.4

Divide cada término en $13 y = 13$ por $13$ y simplifica.

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Paso 4.3.4.1

Divide cada término en $13 y = 13$ por $13$ .

$\frac{13 y}{13} = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.4.2.1

Cancela el factor común de $13$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{13 y}{13} = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.3.1

Divide $13$ por $13$ .

$y = 1$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 1$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 1$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 1$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 4.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 4.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ por $1$ .

$x = - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 1$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica $- \frac{1}{2} - \frac{5}{2}$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 1 - 5}{2}$

$y = 1$

Paso 4.4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.2.1.2.1

Resta $5$ de $- 1$ .

$x = \frac{- 6}{2}$

$y = 1$

Paso 4.4.2.1.2.2

Divide $- 6$ por $2$ .

$x = - 3$

$y = 1$

$x = - 3$

$y = 1$

$x = - 3$

$y = 1$

$x = - 3$

$y = 1$

$x = - 3$

$y = 1$

Paso 4.5

Enumera todas las soluciones.

$x = - 3, y = 1$