Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}] = [\begin{array}{c} - 12 & - 3 \\ - 4 & 2 \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $[\begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ .

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Paso 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Paso 1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 3 a - 3 c & 3 b - 3 d \\ 2 a - c & 2 b - d \end{array}] = [\begin{array}{c} - 12 & - 3 \\ - 4 & 2 \end{array}]$

Paso 2

Write as a linear system of equations.

$3 a - 3 c = - 12$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $a$ en $3 a - 3 c = - 12$ .

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Paso 3.1.1

Suma $3 c$ a ambos lados de la ecuación.

$3 a = - 12 + 3 c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $3 a = - 12 + 3 c$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $3 a = - 12 + 3 c$ por $3$ .

$\frac{3 a}{3} = \frac{- 12}{3} + \frac{3 c}{3}$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 a}{3} = \frac{- 12}{3} + \frac{3 c}{3}$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{- 12}{3} + \frac{3 c}{3}$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

$a = \frac{- 12}{3} + \frac{3 c}{3}$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

$a = \frac{- 12}{3} + \frac{3 c}{3}$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.3.1.1

Divide $- 12$ por $3$ .

$a = - 4 + \frac{3 c}{3}$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$a = - 4 + \frac{3 c}{3}$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.1.2.3.1.2.2

Divide $c$ por $1$ .

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 a - c = - 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $a$ por $- 4 + c$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $a$ en $2 a - c = - 4$ por $- 4 + c$ .

$2 (- 4 + c) - c = - 4$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- 4 + c) - c$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot - 4 + 2 c - c = - 4$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- 8 + 2 c - c = - 4$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

$- 8 + 2 c - c = - 4$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $c$ de $2 c$ .

$- 8 + c = - 4$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

$- 8 + c = - 4$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

$- 8 + c = - 4$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

$- 8 + c = - 4$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $c$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$c = - 4 + 8$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

Paso 3.3.2

Suma $- 4$ y $8$ .

$c = 4$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

$c = 4$

$a = - 4 + c$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $c$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $c$ en $a = - 4 + c$ por $4$ .

$a = - 4 + 4$

$c = 4$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

Paso 3.4.2

Simplifica $a = - 4 + 4$ .

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Paso 3.4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$a = - 4 + 4$

$c = 4$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

$a = - 4 + 4$

$c = 4$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$a = 0$

$c = 4$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

$a = 0$

$c = 4$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

$a = 0$

$c = 4$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

$a = 0$

$c = 4$

$3 b - 3 d = - 3$

$2 b - d = 2$

Paso 3.5

Resuelve $b$ en $3 b - 3 d = - 3$ .

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Paso 3.5.1

Suma $3 d$ a ambos lados de la ecuación.

$3 b = - 3 + 3 d$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $3 b = - 3 + 3 d$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $3 b = - 3 + 3 d$ por $3$ .

$\frac{3 b}{3} = \frac{- 3}{3} + \frac{3 d}{3}$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 b}{3} = \frac{- 3}{3} + \frac{3 d}{3}$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{- 3}{3} + \frac{3 d}{3}$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

$b = \frac{- 3}{3} + \frac{3 d}{3}$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

$b = \frac{- 3}{3} + \frac{3 d}{3}$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.3.1.1

Divide $- 3$ por $3$ .

$b = - 1 + \frac{3 d}{3}$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$b = - 1 + \frac{3 d}{3}$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Divide $d$ por $1$ .

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

$2 b - d = 2$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $b$ por $- 1 + d$ en cada ecuación.

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Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $b$ en $2 b - d = 2$ por $- 1 + d$ .

$2 (- 1 + d) - d = 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica $2 (- 1 + d) - d$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot - 1 + 2 d - d = 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

Paso 3.6.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 + 2 d - d = 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

$- 2 + 2 d - d = 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

Paso 3.6.2.1.2

Resta $d$ de $2 d$ .

$- 2 + d = 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

$- 2 + d = 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

$- 2 + d = 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

$- 2 + d = 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

Paso 3.7

Mueve todos los términos que no contengan $d$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.7.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$d = 2 + 2$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

Paso 3.7.2

Suma $2$ y $2$ .

$d = 4$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

$d = 4$

$b = - 1 + d$

$a = 0$

$c = 4$

Paso 3.8

Reemplaza todos los casos de $d$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 3.8.1

Reemplaza todos los casos de $d$ en $b = - 1 + d$ por $4$ .

$b = - 1 + 4$

$d = 4$

$a = 0$

$c = 4$

Paso 3.8.2

Simplifica $b = - 1 + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$b = - 1 + 4$

$d = 4$

$a = 0$

$c = 4$

$b = - 1 + 4$

$d = 4$

$a = 0$

$c = 4$

Paso 3.8.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.2.1

Suma $- 1$ y $4$ .

$b = 3$

$d = 4$

$a = 0$

$c = 4$

$b = 3$

$d = 4$

$a = 0$

$c = 4$

$b = 3$

$d = 4$

$a = 0$

$c = 4$

$b = 3$

$d = 4$

$a = 0$

$c = 4$

Paso 3.9

Enumera todas las soluciones.

$b = 3, d = 4, a = 0, c = 4$