Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1

Una función racional es cualquier función que se pueda escribir como la razón de dos funciones polinómicas en las que el denominador no sea $0$ .

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ es una función racional

Paso 2

Una función racional es propia cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador; de lo contrario, es impropia.

El grado de numerador es menor que el grado de denominador implica una función correcta

El grado de numerador es mayor que el grado de denominador implica una función incorrecta

El grado de numerador es igual al grado de denominador implica una función incorrecta

Paso 3

Obtén el grado del numerador.

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Paso 3.1

Simplifica y reordena el polinomio.

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Paso 3.1.1

Usa el teorema del binomio.

${(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.1.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.1.2.3

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.1.2.4

Multiplica $3$ por $3^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.4.1

Mueve $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.1.2.4.2

Multiplica $3^{2}$ por $3$ .

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Paso 3.1.2.4.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.1.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.1.2.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.1.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.1.2.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.1.2.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.1.2.9

Multiplica $9$ por $1$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.1.2.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

Paso 3.2

El mayor exponente es el grado del polinomio.

$3$

Paso 4

Obtén el grado del denominador.

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Paso 4.1

Simplifica y reordena el polinomio.

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Paso 4.1.1

Reescribe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$

Paso 4.1.2

Expande $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Paso 4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)$

Paso 4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Paso 4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Paso 4.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Paso 4.1.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Paso 4.1.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1$

Paso 4.1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1$

Paso 4.1.3.2

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Paso 4.2

El mayor exponente es el grado del polinomio.

$4$

Paso 5

El grado del numerador $3$ es menor que el grado del denominador $4$ .

$3 < 4$

Paso 6

El grado del numerador es menor que el grado del denominador, lo que significa que $f (x)$ es una función propia.

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