Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = x^{2} + x$ , $[- 1, 2]$

Paso 1

Según el teorema de valor medio, si $f$ es una función continua con valor real en el intervalo $[a, b]$ y $u$ es un número entre $f (a)$ y $f (b)$ , entonces hay una $c$ contenida en el intervalo $[a, b]$ de tal modo que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Calcula $f (a) = f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$ .

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Paso 3.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$

Paso 3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Paso 3.3

Resta $1$ de $1$ .

$f (- 1) = 0$

Paso 4

Calcula $f (b) = f (2) = {(2)}^{2} + 2$ .

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Paso 4.1

Elimina los paréntesis.

$f (2) = {(2)}^{2} + 2$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 4 + 2$

Paso 4.3

Suma $4$ y $2$ .

$f (2) = 6$

Paso 5

Como $0$ está en el intervalo $[0, 6]$ , resuelve la ecuación en $x$ en la raíz mediante el establecimiento de $y$ a $0$ en $y = x^{2} + x$ .

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + x = 0$ .

$x^{2} + x = 0$

Paso 5.2

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Paso 5.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Paso 5.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 5.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 5.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1$

Paso 6

Según el teorema de valor medio, hay una raíz $f (c) = 0$ en el intervalo $[0, 6]$ porque $f$ es una función continua en $[- 1, 2]$ .

Las raíces en el intervalo $[- 1, 2]$ se ubican en $x = 0, x = - 1$ .

Paso 7