Matemática discreta Ejemplos

$y = 64 - x^{2}$ , $[- 8, 8]$

Paso 1

Reordena $64$ y $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 64$

Paso 2

Según el teorema de valor medio, si $f$ es una función continua con valor real en el intervalo $[a, b]$ y $u$ es un número entre $f (a)$ y $f (b)$ , entonces hay una $c$ contenida en el intervalo $[a, b]$ de tal modo que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Calcula $f (a) = f (- 8) = - {(- 8)}^{2} + 64$ .

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$f (- 8) = - 1 \cdot 64 + 64$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$f (- 8) = - 64 + 64$

Paso 4.2

Suma $- 64$ y $64$ .

$f (- 8) = 0$

Paso 5

Calcula $f (b) = f (8) = - {(8)}^{2} + 64$ .

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f (8) = - 1 \cdot 64 + 64$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$f (8) = - 64 + 64$

Paso 5.2

Suma $- 64$ y $64$ .

$f (8) = 0$

Paso 6

Como $0$ está en el intervalo $[0, 0]$ , resuelve la ecuación en $x$ en la raíz mediante el establecimiento de $y$ a $0$ en $y = - x^{2} + 64$ .

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- x^{2} + 64 = 0$ .

$- x^{2} + 64 = 0$

Paso 6.2

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 64$

Paso 6.3

Divide cada término en $- x^{2} = - 64$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 64$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

Paso 6.3.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Divide $- 64$ por $- 1$ .

$x^{2} = 64$

Paso 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Paso 6.5

Simplifica $\pm \sqrt{64}$ .

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Paso 6.5.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Paso 6.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 8$

Paso 6.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 8$

Paso 6.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 8$

Paso 6.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 8, - 8$

Paso 7

Según el teorema de valor medio, hay una raíz $f (c) = 0$ en el intervalo $[0, 0]$ porque $f$ es una función continua en $[- 8, 8]$ .

Las raíces en el intervalo $[- 8, 8]$ se ubican en $x = 8, x = - 8$ .

Paso 8