Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ , $[- 1, 16]$

Paso 1

Escribe $f (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ como una ecuación.

$y = e^{- \frac{x}{2}}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (16) - f (- 1)}{(16) - (- 1)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = e^{- \frac{x}{2}}$ por $f (16)$ y $f (- 1)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(e^{- \frac{16}{2}}) - (e^{- \frac{- 1}{2}})}{(16) - (- 1)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{e^{- \frac{2 \cdot 8}{2}} - (e^{- \frac{- 1}{2}})}{(16) - (- 1)}$

Paso 3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{e^{- \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}} - (e^{- \frac{- 1}{2}})}{(16) - (- 1)}$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}} - (e^{- \frac{- 1}{2}})}{(16) - (- 1)}$

Paso 3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- \frac{8}{1}} - (e^{- \frac{- 1}{2}})}{(16) - (- 1)}$

Paso 3.1.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$\frac{e^{- 1 \cdot 8} - (e^{- \frac{- 1}{2}})}{(16) - (- 1)}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{e^{- 8} - e^{- \frac{- 1}{2}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{e^{8}} - e^{- \frac{- 1}{2}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{1}{e^{8}} - e^{- - \frac{1}{2}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.4

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{e^{8}} - e^{1 (\frac{1}{2})}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{e^{8}} - e^{\frac{1}{2}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.5

Para escribir $- e^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{1}{e^{8}} - e^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{e^{8}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.6

Combina $- e^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{1}{e^{8}} + \frac{- e^{\frac{1}{2}} e^{8}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{1}{2}} e^{8}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.8

Multiplica $e^{\frac{1}{2}}$ por $e^{8}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.8.1

Mueve $e^{8}$ .

$\frac{\frac{1 - (e^{8} e^{\frac{1}{2}})}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{1 - e^{8 + \frac{1}{2}}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.8.3

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1 - e^{8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.8.4

Combina $8$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.8.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{8 \cdot 2 + 1}{2}}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.8.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.8.6.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{16 + 1}{2}}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.2.8.6.2

Suma $16$ y $1$ .

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{e^{8}}}{16 - (- 1)}$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{e^{8}}}{16 + 1}$

Paso 3.3.2

Suma $16$ y $1$ .

$\frac{\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{e^{8}}}{17}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{e^{8}} \cdot \frac{1}{17}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{e^{8}}$ por $\frac{1}{17}$ .

$\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{e^{8} \cdot 17}$

Paso 3.6

Mueve $17$ a la izquierda de $e^{8}$ .

$\frac{1 - e^{\frac{17}{2}}}{17 e^{8}}$