Matemática discreta Ejemplos

$\tan (\frac{5 π}{6} + \frac{3 π}{4})$

Paso 1

Para escribir $\frac{5 π}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 π}{4})$

Paso 2

Para escribir $\frac{3 π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{3 π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Paso 3.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{12})$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\tan (\frac{5 π \cdot 2 + 3 π \cdot 3}{12})$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$\tan (\frac{10 π + 3 π \cdot 3}{12})$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\tan (\frac{10 π + 9 π}{12})$

Paso 5.3

Suma $10 π$ y $9 π$ .

$\tan (\frac{19 π}{12})$

Paso 6

El valor exacto de $\tan (\frac{19 π}{12})$ es $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{19 π}{12}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\tan (\frac{\frac{19 π}{6}}{2})$

Paso 6.2

Aplica la razón del ángulo mitad de la tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Paso 6.3

Cambia $\pm$ por $-$ porque la tangente es negativa en el cuarto cuadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Paso 6.4

Simplifica $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$ .

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Paso 6.4.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Paso 6.4.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Paso 6.4.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Paso 6.4.4

Multiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 6.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Paso 6.4.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Paso 6.4.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Paso 6.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

Paso 6.4.7

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$

Paso 6.4.8

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}$

Paso 6.4.9

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Paso 6.4.10

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Paso 6.4.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}$

Paso 6.4.12

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Paso 6.4.13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.13.1

Cancela el factor común.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Paso 6.4.13.2

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}$

Paso 6.4.14

Multiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ por $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}$

Paso 6.4.15

Multiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ por $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}$

Paso 6.4.16

Expande el denominador con el método PEIU.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Paso 6.4.17

Simplifica.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

Paso 6.4.18

Divide $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$

Paso 6.4.19

Expande $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.4.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Paso 6.4.19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Paso 6.4.19.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.4.20

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.4.20.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.20.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.4.20.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.4.20.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Paso 6.4.20.1.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Paso 6.4.20.1.5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Paso 6.4.20.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Paso 6.4.20.2

Suma $4$ y $3$ .

$- \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Paso 6.4.20.3

Suma $2 \sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Forma decimal:

$- 3.73205080 \dots$