Matemática discreta Ejemplos

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (8) + \frac{1}{2} \cdot \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{2}{3} \log_{b} (8) + \frac{1}{2} \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$ .

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $\log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{1}{2} \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$

Paso 1.1.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{b} (16)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{\log_{b} (16)}{2} - \log_{b} (8)$

Paso 1.1.2

Para escribir $- \log_{b} (8)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8)}{3} - \log_{b} (8) \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.3.1

Combina $- \log_{b} (8)$ y $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{- \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Paso 1.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8) - \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Paso 1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.4.1.1

Factoriza $\log_{b} (8)$ de $2 \log_{b} (8) - \log_{b} (8) \cdot 3$ .

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Paso 1.1.4.1.1.1

Factoriza $\log_{b} (8)$ de $2 \log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot 2 - \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Paso 1.1.4.1.1.2

Factoriza $\log_{b} (8)$ de $- \log_{b} (8) \cdot 3$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot 2 + \log_{b} (8) (- 1 \cdot 3)}{3}$

Paso 1.1.4.1.1.3

Factoriza $\log_{b} (8)$ de $\log_{b} (8) \cdot 2 + \log_{b} (8) (- 1 \cdot 3)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) (2 - 1 \cdot 3)}{3}$

Paso 1.1.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) (2 - 3)}{3}$

Paso 1.1.4.1.3

Resta $3$ de $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot - 1}{3}$

Paso 1.1.4.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{- 1 \cdot \log_{b} (8)}{3}$

Paso 1.1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$

Paso 2

Multiplica cada término en $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$ por $6$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$ por $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Mueve $6$ a la izquierda de $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Paso 2.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Paso 2.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$6 \log_{b} (x) = \log_{b} (16) \cdot 3 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Paso 2.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\log_{b} (16)$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \cdot \log_{b} (16) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Paso 2.3.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\log_{b} (8)}{3}$ al numerador.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Paso 2.3.1.3.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 (2))$

Paso 2.3.1.3.3

Cancela el factor común.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Paso 2.3.1.3.4

Reescribe la expresión.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) - \log_{b} (8) \cdot 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $6 \log_{b} (x)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = 3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Simplifica $3 \log_{b} (16)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16^{3}) - 2 \log_{b} (8)$

Paso 4.1.1.2

Eleva $16$ a la potencia de $3$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - 2 \log_{b} (8)$

Paso 4.1.1.3

Simplifica $- 2 \log_{b} (8)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - \log_{b} (8^{2})$

Paso 4.1.1.4

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - \log_{b} (64)$

Paso 4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096}{64})$

Paso 4.1.3

Divide $4096$ por $64$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64)$

Paso 5

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{6} = 64$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Paso 6.2

Simplifica $\pm \sqrt[6]{64}$ .

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Paso 6.2.1

Reescribe $64$ como $2^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{2^{6}}$

Paso 6.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 6.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 6.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$